2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.1.2　椭圆的简单几何性质 第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 学案

3 ． 1.2 　椭圆的简单几何性质 第 2 课时　椭圆的标准方程及性质的应用 学习目标 1. 进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系． 2. 能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题． 知识脉络 — 1 ．点与椭圆的位置关系 点 P ( x 0 ， y 0 ) 与椭圆 ＋ ＝ 1( a > b >0) 的位置关系： 点 P 在椭圆上 ⇔ ＋ ＝ 1 ； 点 P 在椭圆内部 ⇔ ＋ <1 ； 点 P 在椭圆外部 ⇔ ＋ >1 ． 2 ． 直线与椭圆的位置关系 直线 y ＝ kx ＋ m 与椭圆 ＋ ＝ 1( a > b >0) 的位置关系： 联立 消去 y 得一个关于 x 的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ 的取值 相交 两 解 Δ > 0 相切 一 解 Δ ＝ 0 相离 无 解 Δ < 0 思考：能否比较椭圆中心到直线的距离与长轴或短轴长来判断直线与椭圆的位置关系？为什么？ 提示　不能．中心到椭圆上点的距离不完全相等． (1) 直线 y ＝ kx － k ＋ 1 与椭圆 ＋ ＝ 1 的位置关系为 ( 　　 ) A ．相切　　　　　　　 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 B 　 [ 直线方程 y ＝ kx － k ＋ 1 可化为 y － 1 ＝ k ( x － 1) ， 知直线过定点 (1 ， 1) ， 因 ＋ ＜ 1 ， ∴ 点 (1 ， 1) 在椭圆内 ， 故直线 y ＝ kx － k ＋ 1 与椭圆相交． ] (2) 过椭圆 ＋ ＝ 1 的右焦点与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 A ， B 两点，则 | AB | ＝ ________ ． 解析　椭圆的右焦点为 (1 ， 0) ， 把 (1 ， 0) 代入 ＋ ＝ 1 中得： y 2 ＝ ， ∴ y ＝ ± ， ∴ | AB | ＝ . 答案　 (3) 过椭圆 ＋ ＝ 1 的左焦点且斜率为 1 的弦 AB 的长是 ______ ． 解析　椭圆的左焦点为 ( － 4 ， 0) ， 由 得 34 x 2 ＋ 200 x ＋ 175 ＝ 0 ， 所以 x 1 ＋ x 2 ＝－ ， x 1 x 2 ＝ . 所以 | AB | ＝ × ＝ × ＝ . 答案　 1 ．弦长问题 设直线 y ＝ kx ＋ b 与椭圆相交于 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 两点 ， 则 | AB | ＝ ＝ ＝ ＝ | x 1 － x 2 | ＝ ， 或 | AB | ＝ ＝ | y 1 － y 2 | ＝ . 2 ． 中点弦问题 (1) 直线与椭圆相交于两点 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 与弦 AB 中点有关的问题称为中点弦问题． (2) 解决 “ 中点弦 ” 问题的一般方法： a ． 利用根与系数的关系 联立直线与椭圆的方程 ， 消元得一元二次方程 ，借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式等求解． b ． 点差法 将 A ， B 两点的坐标代入椭圆方程 ＋ ＝ 1 中 ， 则有 ＋ ＝ 1 　 ① ， ＋ ＝ 1 　 ② ， ① － ② ， 得 ＋ ＝ 0 ， 即 ＋ ＝ 0. 　 ③ 设 M ( x 0 ， y 0 ) 为 AB 的中点 ， 则有 同时有直线 AB 的斜率 k AB ＝ ， 　 ⑥ 将 ④⑤⑥ 代入 ③ 中 ， 得 k AB ＝ . 通常用此法来解决中点弦问题及对称问题 ， 当然也可使用根与系数的关系法． 类型一 直线与椭圆的位置关系 逻辑推理 【例 1 】　已知直线 l ： y ＝ 2 x ＋ m ，椭圆 C ： ＋ ＝ 1. 试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C ： (1) 有两个公共点； (2) 有且只有一个公共点； (3) 没有公共点． 解　直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立 ， 得方程组 消去 y ， 得 9 x 2 ＋ 8 mx ＋ 2 m 2 － 4 ＝ 0 　 ① . 方程 ① 的判别式 Δ ＝ (8 m ) 2 － 4 × 9 × (2 m 2 － 4) ＝－ 8 m 2 ＋ 144. (1) 当 Δ ＞ 0 ， 即－ 3 ＜ m ＜ 3 时 ， 方程 ① 有两个不同的实数根 ， 可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个公共点． (2) 当 Δ ＝ 0 ， 即 m ＝ ±3 时 ， 方程 ① 有两个相同的实数解 ， 可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点． (3) 当 Δ ＜ 0 ， 即 m ＜－ 3 或 m ＞ 3 时 ， 方程 ① 没有实数解 ， 可知原方程组没有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点． 类型二 弦长和中点弦问题 数学运算 【例 2 】　过椭圆 ＋ ＝ 1 内一点 M (2 ， 1) 引一条弦，使弦被 M 点平分． (1) 求此弦所在的直线方程； (2) 求此弦长． 解　 (1) 方法一：设所求直线方程为 y － 1 ＝ k ( x － 2). 代入椭圆方程并整理 ， 得 (4 k 2 ＋ 1) x 2 － 8(2 k 2 － k ) x ＋ 4(2 k － 1) 2 － 16 ＝ 0. 又设直线与椭圆的交点为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 x 1 ， x 2 是方程的两个根 ， 于是 x 1 ＋ x 2 ＝ . 又 M 为 AB 的中点 ， ∴ ＝ ＝ 2 ， 解得 k ＝－ . 故所求直线的方程为 x ＋ 2 y － 4 ＝ 0. 方法二：设直线与椭圆的交点为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 又 M (2 ， 1) 为 AB 的中点 ， ∴ x 1 ＋ x 2 ＝ 4 ， y 1 ＋ y 2 ＝ 2. 又 A ， B 两点在椭圆上 ， 则 x 1 2 ＋ 4 y 1 2 ＝ 16 ， x 2 2 ＋ 4 y 2 2 ＝ 16. 两式相减得 ( x 1 2 － x 2 2 ) ＋ 4( y 1 2 － y 2 2 ) ＝ 0. 于是 ( x 1 ＋ x 2 )( x 1 － x 2 ) ＋ 4( y 1 ＋ y 2 )( y 1 － y 2 ) ＝ 0. ∴ ＝－ ＝－ ， 即 k AB ＝－ . 又直线 AB 过点 M (2 ， 1) ， 故所求直线的方程为 x ＋ 2 y － 4 ＝ 0. (2) 设弦的两端点分别为 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 由 得 x 2 － 4 x ＝