5
．
3.1
函数的单调性
学习目标
1.
理解导数与函数的单调性的关系．
(
易混点
)
2.
掌握利用导数判断函数单调性的方法．
(
重点
)
3.
会用导数求函数的单调区间．
(
重点、难点
)
知识脉络
1
．
函数
f
(
x
)
的单调性与导函数
f
′(
x
)
正负的关系
定义在区间
(
a
，
b
)
内的函数
y
＝
f
(
x
)
：
f
′
(
x
)
的正负
f
(
x
)
的单调性
f
′(
x
)
＞
0
单调递
增
f
′
(
x
)
＜
0
单调递
减
思考
如果在某个区间内恒有
f
′(
x
)
＝
0
，
那么函数
f
(
x
)
有什么特性？
提示
f
(
x
)
是常数函数．
2
．
判断函数
y
＝
f
(
x
)
的单调性
第
1
步：确定函数的
定义域
；
第
2
步：求出导数
f
′(
x
)
的
零点
；
第
3
步：用
f
′(
x
)
的
零点
将
f
(
x
)
的定义域划分为若干个区间
，
列表给出
f
′(
x
)
在各区间上的
正负
，
由此得出函数
y
＝
f
(
x
)
在定义域内的单调性．
3
．
函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地
，
设函数
y
＝
f
(
x
)
，
在区间
(
a
，
b
)
上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较
“
陡峭
”
(
填
“
陡峭
”
或
“
平缓
”
)
越小
慢
比较
“
平缓
”
(
填
“
陡峭
”
或
“
平缓
”
)
判断正误
(
正确的打
“√”
，
错误的打
“×”
)
(1)
函数
f
(
x
)
在区间
(
a
，
b
)
上都有
f
′(
x
)>0
，
则函数
f
(
x
)
在这个区间上单调递增．
(
)
(2)
函数在某一点的导数越大
，
函数在该点处的切线越
“
陡峭
”
．
(
)
(
3)
函数在某个区间上变化越快
，
函数在这个区间上导数的绝对值越大．
(
)
(4)
判断函数单调性时
，
在区间内的个别点
f
′
(
x
)
＝
0
，
不影响函数在此区间的单调性．
(
)
解析
(1)
正确
，
函数
f
(
x
)
在区间
(
a
，
b
)
上都有
f
′(
x
)>0
，
所以函数
f
(
x
)
在这个区间上单调递增
，
故正确．
(2)
错误
，
切线的
“
陡峭
”
程度与
|
f
′(
x
)|
的大小有关
，
故错误．
(3)
正确
，
函数在某个区间上变化的快慢
，
和函数导数的绝对值大小一致．
(4)
正确
，
若
f
′(
x
)
≥
0(
x
≤
0)
，
则函数
f
(
x
)
在区间内单调递增
(
减
)
，
故
f
′(
x
)
＝
0
不影响函数单调性．
答案
(1)
√
(2)
×
(3)
√
(4)
√
函数值增减快慢与导数的关系
图象
f
′(
x
)
的变化规律
函数值的变化规律
f
′
(
x
)
＞
0
且越来越大
函数值增加
的越来越快
f
′
(
x
)
＞
0
且越来越小
函数值增加的越来越慢
f
′
(
x
)
＜
0
且越来越小
函数值减小的越来越快
f
′
(
x
)
＜
0
且越来越大
函数值减小的越来越慢
导数的正负反映函数在某个单调区间的单调性
，
导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度
.
类型一
单调性与导数的关系
直观想象
【例
1
】
(1)(
多选题
)
函数
y
＝
f
(
x
)
的图象如图所示
，
给出以下说法
，
其中正确的是
(
)
A
．
函数
y
＝
f
(
x
)
的定义域是
[
－
1
，
5
]
B
．
函数
y
＝
f
(
x
)
的值域是
(
－
∞
，
0
]
∪
[2
，
4
]
C.
函数
y
＝
f
(
x
)
在定义域内是增函数
D
．
函数
y
＝
f
(
x
)
在定义域内的导数
f
′
(
x
)>0
(2)
设函数
f
(
x
)
在定义域内可导
，
y
＝
f
(
x
)
的图象如图所示
，
则导函数
y
＝
f
′(
x
)
的图象可能为
(
)
(3)
已知函数
y
＝
f
(
x
)
的图象是下列四个图象之一
，
且其导函数
y
＝
f
′
(
x
)
的图象如图所示
，
则该函数的图象是
(
)
(
1
)
AB
[(1)
由图象可知
，
函数的定义域为
[
－
1
，
5
]
，
值域为
(
－
∞
，
0
]
∪
[2
，
4
]
，
故
AB
正确．
]
(2)
D
[
由
f
(
x
)
的图象可知
，
y
＝
f
(
x
)
在
(
－
∞
，
0
)
上是增函数
，
因此在
x
＜
0
时
，
有
f
′(
x
)
＞
0(
即全部在
x
轴上方
)
，
故排除
A
，
C.
从原函数图象上可以看出
，
在区间
(0
，
x
1
)
上原函数是增函数
，
f
′
(
x
)
＞
0
；在区间
(
x
1
，
x
2
)
上原函数是减函数
，
f
′
(
x
)
＜
0
；在区间
(
x
2
，
＋
∞
)
上原函数是增函数
，
f
′
(
x
)
＞
0
，
故排除
B.
故选
D.]
(3)
B
[
法一：由函数
y
＝
f
(
x
)
的导函数
y
＝
f
′(
x
)
的图象自左到右先增后减
，
可知函数
y
＝
f
(
x
)
图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．
法二：由于
f
′(
x
)
＞
0
恒成立
，
则根据导数符号和函数单调性的关系可知
，
f
(
x
)
单调递增
，
即图象从左至右上升．四个图象都满足．
由于当
x
＞
0
时
，
f
′
(
x
)
＞
0
且越来越小
，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当
x
＜
0
时
，
f
′
(
x
)
＞
0
且越来越大
，
故函数值增加得越来越快
，
图象呈现下凸状
，
可以判断
B
正确．
]
类型二
求函数的单调区间
数学运算
【例
2
】
求下列函数的单调区间：
(1)
f
(
x
)
＝
3
x
2
－
2
ln
x
；
(2)
f
(
x
)
＝
x
2
e
－
x
.
解
(1)
f
(
x
)
＝
3
x
2
－
2
ln
x
的定义域为
(0
，
＋
∞
).
f
′
(
x
)
＝
6
x
－
＝
＝
.
由
x
＞
0
，
f
′
(
x
)
＞
0
，
解得
x
＞
.
由
x
＞
0
，
f
′
(
x
)
＜
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 5.3.1 函数的单调性 学案
