2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 简单复合函数的求导法则 课件

第二章　导数及其应用 §5　简单复合函数的求导法则  1．了解复合函数的求导法则．2．能求简单复合函数的导数． 通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养. 复合函数的概念 知识点 1对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数____________和_____________的复合函数，记作_______________，其中u为中间变量．[提醒]　讨论复合函数的构成时，“内层”“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．然后从外向内逐层求导．y＝f(u)u＝φ(x)y＝f(φ(x)) 想一想：如何求复合函数y＝f(φ(x))的定义域？提示：由内函数u＝φ(x)的值域包含于外函数y＝f(u)的定义域所求得的x的取值集合就是复合函数y＝f(φ(x))的定义域． ×××√ 复合函数的求导法则 知识点 2复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝_______________________＝__________________________________________.[f(φ(x))]′f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x) 想一想：任何两个函数都能复合吗？提示：只有外函数y＝f(u)的定义域与内函数u＝φ(x)的值域的交集非空时才能复合． C 2．已知函数f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝_____. [解析]　易得f′(x)＝4(2x＋a)，又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20，解得a＝1.1 题|型|探|究题型一复合函数的概念典例 1 [规律方法]　1.不是任意两个函数都能复合，只有内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时，才能复合．2．一个复合函数有不同的复合形式，要根据研究的需要进行选择． 函数y＝e2x－1可以看成哪两个函数的复合？[解析]　函数y＝e2x－1可以看成函数y＝eu与函数u＝2x－1的复合．对点训练❶ 求下列函数的导数：题型二复合函数的求导典例 2[分析]　先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导． [规律方法]　求复合函数导数的步骤 (1)函数y＝x2cos 2x的导数为( 　　)A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2xB．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2xsin 2xD．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x对点训练❷(3)函数f(x)＝(2x＋1)5，则f ′(0)的值为_______.BB10 (1)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( 　　)题型三与复合函数有关的切线问题典例 3D3 [分析]　(1)先求出函数在切点处的导数值，即为切线的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角．(2)先设出切点坐标，再求函数在切点处的导数值，从而求得a的值． [规律方法]　解决与复合函数有关的切线问题的关键有两个：(1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解，求导时不要有遗漏．(2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点． 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是_______________.[解析]　设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.所以当x>0时，f(x)＝ex－1＋x.因此，当x>0时，f ′(x)＝ex－1＋1，f ′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.对点训练❸2x－y＝0 易|错|警|示对复合函数的求导不完全而致误在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数．典例 4 函数y＝xe1－2x的导数为________________________.[错解]　y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.[正解]　y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.(1－2x)e1－2x [点评]　错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全.