2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第四章 4.3.2　对数的运算(二) 学案

4.3.2 　对数的运算 ( 二 ) 学习目标 　 1 . 进一步掌握换底公式及其推论 . 2 . 了解对数在生活中的应用 . 教材知识梳理 换底公式 log a b = ( a >0, 且 a ≠1; c >0, 且 c ≠1; b >0) . 由换底公式推导的重要结论 : (1)log a b ·log b a = 1 . (2)log a b ·log b c ·log c d = log a d . (3)lo b n = log a b. 【质疑辨析】 ( 正确的打 “√”, 错误的打 “×”) (1)log a M -log a N = . ( 　 × 　 ) (2)lg 2·log 2 10=1 . ( 　 √ 　 ) (3)log a b ·log b c =log a c. ( 　 √ 　 ) (4)lo =log 2 3 . ( 　 √ 　 ) 教材典题变式 【例 1 】 ( 源于 P125 例 5) (1) 在天文学中 , 天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 . 两颗星的星等与亮度满足 m 2 - m 1 = lg , 其中星等为 m k 的星的亮度为 E k ( k =1,2) . 已知太阳的星等是 -26 . 7, 天狼星的星等是 -1 . 45, 则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( 　　 ) A . 10 10 . 1 B . 10 . 1 C . lg 10 . 1 D . 10 -10 . 1 (2) 里氏震级 M 的计算公式为 : M =lg A -lg A 0 , 其中 A 是测震仪记录的地震曲线 的最大振幅 , A 0 是相应的标准地震的振幅 , 则 9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的 　　　　　　 倍 .  【答案】 (1)A 　 (2)10 000 【详解】 (1) 两颗星的星等与亮度满足 m 2 - m 1 = lg , 令 m 2 =-1 . 45, m 1 =-26 . 7,lg = ·( m 2 - m 1 )= (-1 . 45+26 . 7)=10 . 1, =10 10 . 1 . (2) 由 M =lg A -lg A 0 得 A = A 0 10 M , 设 9 级和 5 级地震的最大振幅为 A 9 , A 5 , 则 = =10 4 , 由此知 9 级地震的最大的振幅是 5 级地震最大振幅的 10 000 倍 . 教材拓展延伸 【例 2 】 (1) 若 2 a =5 b =10, 则 + = ( 　　 ) A . -1 B . lg 7 C . 1 D . log 7 10 (2) 若 a =log 4 3, 则 2 a +2 - a = 　　　　　　 .  【答案】 (1)C 　 (2) 【详解】 (1) 因为 2 a =5 b =10, 所以 a =log 2 10, b =log 5 10, 所以 + = + =lg 2+lg 5=lg 10=1 . (2) 因为 a =log 4 3, 所以 4 a =3 ⇒ 2 a = , 所以 2 a +2 - a = + = . 【例 3 】 (1) 设 a , b , c 都是正数 , 且 3 a =4 b =6 c , 那么 ( 　　 ) A . = + B . = + C . = + D . = + (2) 已知 a >0, b >0, 若 log 4 a =log 6 b =log 9 ( a + b ), 则 的值为 　　　　　　 .  【答案】 (1)B 　 (2) 【详解】 (1) 令 3 a =4 b =6 c = M ( M >1), 则 a =log 3 M , b =log 4 M , c =log 6 M , 所以 =log M 3, =log M 4, =log M 6, 对于 A: + =log M 3+log M 4=log M 12>log M 6= , 故 A 错误 ; 对于 B: =2log M 6=log M 36, + =2log M 3+log M 4=log M 3 2 +log M 4=log M (3 2 ×4)=log M 36, 所以 = + , 故 B 正确 ; 对于 C: + =2log M 3+2log M 4=log M 3 2 +log M 4 2 =log M (3 2 ×4 2 )=log M 144, 所以 ≠ + , 故 C 错误 ; 对于 D: + =log M 3+2log M 4=log M 3+log M 4 2 =log M (3×4 2 )=log M 48, 所以 ≠ + , 故 D 错误 . (2) 设 log 4 a =log 6 b =log 9 ( a + b )= m , a >0, b >0, 则 a =4 m , b =6 m , a + b =9 m , 所以 a + b =9 m = = = , 整理得 2 - -1=0, 又 a >0, b >0, 所以 = . 【归纳总结】 对于连等式 a x = b y = c z , 或者 log a x =log b y =log c z 的处理 , 一般都是令连等式的值为 k , 然后将指数式与对数式互化 , 通过指数幂或对数的运算性质 , 加以解决 . 【例 4 】设 a =log 0 . 2 0 . 3, b =log 2 0 . 3, 则 ( 　　 ) A .a + b < ab <0 B .ab < a + b <0 C .a + b <0< ab D .ab <0< a + b 【答案】 B 【详解】因为 a =log 0 . 2 0 . 3, b =log 2 0 . 3, 所以 =log 0 . 3 0 . 2, =log 0 . 3 2, 所以 + =log 0 . 3 0 . 4, 所以 0< + <1, 即 0< <1, 又因为 a >0, b <0, 所以 ab <0, 即 ab < a + b <0 .