7.3
*
复数的三角表示
新课程标准解读
核心素养
1.
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系
数学抽象
2.
了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
数学运算
设复数
z
＝
1
＋
i
在复平面内对应的点为
Z
.
问题
（
1
）写出点
Z
的坐标，并在图中描出点
Z
的位置，作出向量
；
（
2
）记
r
为向量
的模，
θ
是以
x
轴非负半轴为始边、射线
OZ
为终边的一个角，求
r
的值，并写出
θ
的任意一个值，探讨
r
，
θ
与
z
＝
1
＋
i
的实部、虚部之间的关系
.
知识点一
复数的三角形式
1
.
定义
：任何一个复数
z
＝
a
＋
b
i
都可以表示成
r
（
cos
θ
＋
isin
θ
）
的形式
.
其中，
r
是复数
z
的模；
θ
是以
x
轴的非负半轴为始边，向量
所在射线
（射线
OZ
）
为终边的角，叫做复数
z
＝
a
＋
b
i
的
辐角
.
r
（
cos
θ
＋
isin
θ
）
叫做复数
z
＝
a
＋
b
i
的三角表示式，简称三角形式
.
2
.
辐角的主值
：规定在
0
≤
θ
＜
2π
范围内的辐角
θ
的值为辐角的主值
.
通常记作
arg
z
，即
0
≤
arg
z
＜
2π.
提醒
辐角和辐角主值的区别与联系
：
区别，辐角
θ
是指以
x
轴的非负半轴为始边，以复数
z
所对应的向量
所在射线（射线
OZ
）为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在
0
≤
θ
＜
2π
范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；联系，
θ
＝
2
k
π
＋
arg
z
，
k
∈
Z
.
知识点二 复数三角形式的乘、除运算
1
.
乘法运算法则
设
z
1
＝
r
1
（
cos
θ
1
＋
isin
θ
1
），
z
2
＝
r
2
（
cos
θ
2
＋
isin
θ
2
），则
z
1
z
2
＝
r
1
r
2
[
cos
（
θ
1
＋
θ
2
）
＋
isin
（
θ
1
＋
θ
2
）
]
.
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的
积
，积的辐角等于各复数的辐角的
和
.
2
.
除法运算法则
设
z
1
＝
r
1
（
cosθ
1
＋
isinθ
1
），
z
2
＝
r
2
（
cos
θ
2
＋
isin
θ
2
），且
z
2
≠
0
，则
＝
[
cos
（
θ
1
－
θ
2
）
＋
isin
（
θ
1
－
θ
2
）
]
.
即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的
商
，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的
差
.
1.
复数
1
＋
i
的辐角主值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
C
因为复数
1
＋
i
对应的点在第一象限，所以
arg
（
1
＋
i
）
＝
.
2.
将复数
i
对应的向量
绕原点按逆时针方向旋转
，得到向量
，则
对应的复数是（
）
A.
＋
I
B.
－
＋
i
C.
－
－
I
D.
－
i
解析：
B
i＝cos
＋isin
，将
绕原点按逆时针方向旋转
得到
对应的复数为
cos
＋
isin
＝
－
＋
i.
3.
计算（
cos π
＋
isin π
）
÷
（
cos
＋
isin
）＝
.
解析：
（
cos π
＋
isin π
）
÷
（
cos
＋
isin
）＝
cos
＋
isin
＝
－
＋
i.
答案：
－
＋
i
题型一
复数的代数形式化为三角形式
【例
1
】
将下列复数的代数形式化成三角形式：
（
1
）
＋
i
；
（
2
）
1
－
i.
解
（
1
）
r
＝
＝
2
，所以
cos
θ
＝
，
因为对应的点在第一象限，所以
arg
（
＋
i
）
＝
，
故
＋
i
＝
2
.
（
2
）
r
＝
＝
，所以
cos
θ
＝
，
因为对应的点在第四象限，所以
arg
（
1
－
i
）
＝
，
故
1
－
i
＝
.
通性通法
将复数的代数形式转化为三角形式的步骤
（
1
）求复数的模；
（
2
）确定辐角所在的象限；
（
3
）根据象限求出辐角；
（
4
）求出复数的三角形式
.
下列复数是复数三角形式表示的是（
）
A.
B.
－
C.
D.cos
π
＋
isin
π
解析：
D
选项
A
，
cos
与
isin
之间用
“
－
”
连接，不是用
“
＋
”
连接；选项
B
，
－
＜
0
不符合
r
≥
0
的要求；选项
C
，是
icos
π
与
sin
π
用
“
＋
”
连接而不是
cos
π
＋
isin
π
的形式
.
故
A
、
B
、
C
均不是复数的三角形式
.
故选
D.
题型二
复数的三角形式化为代数形式
【例
2
】
复数
z
＝
（
cos
＋
isin
）
化为代数形式为（
）
A.
＋
i
B.
－
＋
i
C.
－
＋
i
D.
－
i
解析
z
＝
＝
cos
＋（
sin
）
i
＝
×
（
－
）＋
×
i
＝
－
＋
i.
答案
C
通性通法
将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式为
z
＝
r
（
cos
A
＋
isin
A
），代数形式为
z
＝
x
＋
y
i
，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即
x
＝
r
cos
A
，
y
＝
r
sin
A
.
复数
的代数形式为
.
解析：
（
cos
π
＋
isin
π
）＝
［
cos
（
π
＋
π
）＋
isin
（
π
＋
π
）］＝
＝
（
－
i
）＝
1
－
i.
答案：
1
－
i
题型三
复数三角形式的乘、除法运算
【例
3
】
计算：
（
1
）
2
×
；
（
2
）
6
（
cos 160
°
＋
isin 160
°
）
÷[
（
cos 25
°
＋
isin 25
°
）
]
.
解
（
1
）
2
×
＝
2
＝
－
2
i.
（
2
）原式
＝
3
[
cos
（
160
°
－
25
°
）
＋
isin
（
160
°
－
25
°
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.3 复数的三角表示（学案）
