基础知识 幂函数的概念一般地，形如____________________的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．思考1：幂函数的解析式有什么特征？提示：①系数为1；②底数x为自变量；③幂指数为常数．y＝xα(α为常数) 知识点1
常见幂函数的图象与性质知识点2{x|x≠0} [0，＋∞) [0，＋∞) [0，＋∞)
奇 偶 奇 奇 非奇非偶 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0) (－∞，0)，(0，＋∞) (1，1)
思考2：在区间(0，＋∞)上，幂函数有怎样的单调性？提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当α＞0，y＝xα是增函数；当α＜0时，y＝xα是减函数．
基础自测D
B
3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n等于 ( )A．1 B．2C．3 D．4C
－1
题型探究题型一幂函数的概念 已知函数f(x)＝(m2＋2m)xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．例 1
[归纳提升] 形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x，y＝xx＋1，y＝x2＋1均不是幂函数．
④⑤⑥
题型二幂函数的图象 例 2C
[分析] 逐个分析函数图象，也可给α分别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系的图象形状．
[归纳提升] 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数的图象越靠近x轴；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数的图象越远离x轴．(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断．
B 二、四
题型三幂函数简单性质的应用 例 3
[归纳提升] 比较幂值的大小，关键是构造适当的函数．对于第(3)小题，当要比较的两数的底数不在同一单调区间上时，应先利用函数的奇偶性等性质进行转化，使得要比较的两数的底数在同一单调区间上，再比较．
角度2 已知单调性求参数 (2022·湖南省长沙市联考)已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式．[分析] 先根据幂函数的定义求出m的值，然后根据该幂函数在(0，＋∞)上单调递减进行检验．例 4
[解析] ∵y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3．当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．∴y＝x－3(x≠0)．[归纳提升] 本题根据幂函数的定义可求出m有两个值，求出m的值后，一定要根据题目要求对m的值进行检验．
【对点练习】❸ (1)比较下列各组数的大小：①1.10.1，1.20.1；②0.24－0.2，0.25－0.2．(2)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝ ( )A．1 B．2C．1或2 D．3A
[解析] (1)①由于函数y＝x0.1在第一象限内单调递增，又因为1.1＜1.2，所以1.10.1＜1.20.1．②由于函数y＝x－0.2在第一象限内单调递减，又因为0.24＜0.25，所以0.24－0.2＞0.25－0.2．(2)因为幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，所以m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2．当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．
误区警示[错解] ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3．∵m∈N*，∴m＝1，2．例 5
[错因分析] 该解法中将函数值大小转化为自变量大小时忽略了定义域以及单调区间的限制．只有在同一个单调区间内才可以在函数值大小与自变量大小之间实现自由转化．
[正解] ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3．∵m∈N*，∴m＝1，2．又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．
[方法点拨] 解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而误用性质产生错误的结果．
学科素养新定义题新定义问题都要按照定义要求，变形为普通的运算表达的函数形式，再使用相关方法获得结论．考查逻辑推理及直观想象素养．
定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．[分析] 按定义用分段函数表示f(x)，使用图象求解．[解析] 因为f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f(x)总是取x2和x－2中最大的一个值．令x2＞x－2，得x2＞1，所以x＞1或x＜－1．例 6
2023-2024学年北师大版必修第一册 简单幂函数的图象和性质(课件)
