2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册 1-4-2充要条件 课件

1.4.2充要条件 复习导入充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”真推理关系条件关系“若p，则q”假p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件注：已知满足条件,满足条件则是的充分条件；是的必要条件  新知探究问题1：已知整数是的倍数； 整数是的倍数，请判断是的必要条件吗？是的充分条件吗？ ,所以是的充分条件；,所以是的必要条件 是的充分必要条件（简称充要条件）  如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.  新知探究思考2：，则是的充分必要条件，类似的，你能否列举说明是的充分不必要条件、必要不充分条件、既不必要也不充分条件 p能否推qq能否推pp与q的关系p是q的________________条件p是q的________________条件p是q的________________条件p是q的_________________条件充分必要(充要)充分不必要必要不充分既不充分也不必要 新知探究思考1：下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的互为充要条件？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；(4)若是空集，则与均是空集. （1），（4） 练习巩固例3.下列各题中，哪些是的充要条件？(1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分；(2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例；(3)：，(4)：是一元二次方程的一个根，. 解： (2)， (4)思考2：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 例4.已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证：是直线与相切的充要条件. 练习巩固证明：设：直线与相切.(1)充分性()：如图，作于点，则若则点在上.在直线上任取一点(易于点),连接在中，所以，除点外直线上的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点.所以直线与相切.(2)必要性()：若直线与相切，不妨设切点为，则因此，.由(1)(2)可得，是直线与相切的充要条件.  练习1.已知.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( )..为二次函数..四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分.或 练习巩固【答案】 变式1-1.下列各题中，哪些是的充要条件？(1)且；(2)三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形；(3) 【答案】（1），（3） 变式1-2.设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ）．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 练习巩固【答案】 变式1-3.使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ）. .或 . .或 【答案】  练习2.已知(1)当为何值时，是的充要条件？ 练习巩固解：(1)∵是的充要条件，∴，此时∴当时，是的充要条件.  练习2.已知(2)当为何值时，是的充分不必要条件？ 练习巩固解：(2)∵是的充分不必要条件，∴，∴.∴当时，∴是的充分不必要条件. ••  ••  •  练习2.已知(3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 练习巩固解：(3)∵是的必要不充分条件，∴，∴.∴当时，是的必要不充分条件. ••  ••  •  变式2.已知(1)当为何值时，是的充分不必要条件？ 练习巩固解：(1)若是的充分不必要条件，即但，亦即是的必要不充分条件，∴，∴.∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件. ••  ••  •  变式2.已知(2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 练习巩固解：(2)若是的必要不充分条件，即但，亦即是的充分不必要条件，∴，∴.∴当时，∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件. ••  ••  •  练习3.求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是 练习巩固证明：假设一元二次方程有一正根和一负根,证明，即证明充分性：若成立，则关于的方程的判别式，且两根之积，所以关于的方程有一正根和一负根成立，即充分性成立.证明，即证明充分性：反之，若关于的方程有一正根和一负根成立，则两根之积，所以成立，即必要性成立，综上，“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件  变式3.求证：关于的方程有一个根是1的充要条件是. 练习巩固证明：假设：方程有一个根是，：.证明，即证明必要性：∵是方程的根，∴，即.再证明，即证明充分性：由，得.∵，∴，即.故.∴是方程的一个根．故方程有一个根是的充要条件是.  复习导入充要条件p能否推qq能否推pp与q的关系p是q的________________条件p是q的________________条件p是q的________________条件p是q的_________________条件充分必要(充要)充分不必要必要不充分既不充分也不必要