2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 2.1圆的标准方程 课件

第一章2.1　圆的标准方程 基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.2.能根据所给条件求圆的标准方程.3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　圆的标准方程 定长 圆心半径圆心半径(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 名师点睛1.当圆心在原点即A(0,0),半径长为r(r>0)时,方程为x2+y2=r2.2.当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.3.相同的圆,建立的坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的. 过关自诊1.[人教B版教材习题]分别写出满足下列条件的圆的标准方程:(1)圆心为坐标原点,半径为2;(2)圆心为点(0,1),半径为2;(3)圆心为点(-2,1),半径为 .提示 (1)x2+y2=4.(2)x2+(y-1)2=4.(3)(x+2)2+(y-1)2=3. 2.[人教B版教材习题]求出下列方程表示的圆的圆心坐标和半径:(1)x2+y2=5;(2)(x-3)2+y2=4;(3)x2+(y+1)2=2;(4)(x+2)2+(y-1)2=3.提示 (1)圆心C(0,0),半径r= .(2)圆心C(3,0),半径r=2.(3)圆心C(0,-1),半径r= .(4)圆心C(-2,1),半径r= . 知识点2　点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设位置关系d与r的大小图示点P的坐标特点点在圆外d>r 　　　 　　 (x0-a)2+(y0-b)2>r2　 位置关系d与r的大小图示点P的坐标特点点在圆上d=r 　　　 　　 点在圆内d<r 　　　 　　 (x0-a)2+(y0-b)2=r2　 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 过关自诊1.[人教A版教材习题]已知圆的标准方程是(x-3)2+(y+2)2=16,借助计算工具计算,判断下列各点在圆上、圆外,还是在圆内.(1)M1(4.30,-5.72); (2)M2(5.70,1.08);(3)M3(3,-6).提示 将点M1,M2,M3的坐标代入圆的方程(x-3)2+(y+2)2=16的左边可得:(1)(4.30-3)2+(-5.72+2)2=15.528 4<16,∴M1(4.30,-5.72)在圆内.(2)(5.70-3)2+(1.08+2)2=16.776 4>16,∴M2(5.70,1.08)在圆外.(3)(3-3)2+(-6+2)2=16,∴M3(3,-6)在圆上. 2.[人教B版教材习题]判断A(1,1),B(1, ),C(1,2)与圆x2+y2=4的位置关系.提示 ∵12+12<4,∴A在圆内;∵12+( )2=4,∴B在圆上;∵12+22=5>4,∴C在圆外. 知识点3　圆x2+y2=r2(r>0)的几何性质1.范围圆上任意一点P(x,y)都满足不等式　　　　,|y|≤r.　　　2.对称性 圆x2+y2=r2是关于　　　和　　　的轴对称图形,也是关于　　　　的中心对称图形. 　　　　　　　 对称轴并非只有这两条 |x|≤r x轴 　y轴 原点 过关自诊[人教B版教材习题]已知A(x1,y1),B(x2,y2)是圆的一条直径的两个端点,证明圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.提示 设P(x,y)为圆上一动点,则|PA|2=(x-x1)2+(y-y1)2,|PB|2=(x-x2)2+(y-y2)2, |AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.因为|PA|2+|PB|2=|AB|2,所以代入,化简得(x-x1)(x-x2) +(y-y1)(y-y2)=0. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　　求圆的标准方程【例1】 求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程. 解 (方法一)设点C为圆心,∵点C在直线x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.解得a=-2.∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r= .故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. (方法二)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 规律方法　圆的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,通过解方程组来得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤: 变式训练1已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周长最小的圆的方程;(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程. (方法二)待定系数法.设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,∴圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=20. 探究点二　　点与圆的位置关系【例2】 点P(m,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)A.点P在圆内 B.点P在圆外C.点P在圆上 D.不确定B解析 由m2+52=m2+25>24,得点P在圆外. 变式探究1将本例条件改为“点P(m,5)在圆(x-1)2+y2=26上”,则m的值为　　　　. 0或2 解析 由题意知(m-1)2+52=26,则(m-1)2=1,即m-1=±1,所以m=0或m=2. 变式探究2将本例条件改为“点P(m,5)在圆(x-1)2+y2=26内部”,则m的取值范围是　　　　　　. (0,2) 解析 由题意知(m-1)2+52<26,即(m-1)2<1,解得0<m<2. 规律方法　1.判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆心之间的距离,与半径作比较即可.(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断.2.灵活运用若已知点与圆的位置关系,也可利用以上两种方法列出不等式或方程,求解参数范围. 变式训练2已知a,b是方程x2-x- =0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是(　　)A.点P在圆C内 B.点P在圆C外C.点P在圆C上 D.无法确定A 本节要点归纳1.知识清单:(1)圆的标准方程