2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 9.2.4 总体离散程度的估计 课件

9.2.4　总体离散程度的估计 课程标准1.理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差．2．掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法．  新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教材要点要点　方差、标准差1．假设一组数据为x1，x2，…xn，则这组数据的平均数＝，方差为s2＝__________，标准差s＝____________．2．如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝2为总体方差，S＝为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝)2.    3．如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝2为样本方差，s＝为样本标准差．4．标准差刻画了数据的________或________，标准差________，数据的离散程度越大；标准差________，数据的离散程度越小．  离散程度波动幅度越大越小 助 学 批 注批注　(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差． 夯 实 双 基　1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定．(　　)(2)数据的方差越大，样本数据分布越集中、稳定．(　　)(3)数据的标准差越小，数据分布越集中、波动幅度越小．(　　)(4)在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差．(　　)√×√√ 2．已知有样本数据2、4、5、6、8，则该样本的方差为(　　)A．5 B．4C．2 D．0答案：B解析：平均数为＝5.该样本的方差为＝4.故选B.  3．甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛中，发挥更稳定的是(　　)A．甲 B．乙C．甲、乙相同 D．不能确定答案：A解析：因甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定．故选A. 4．已知一组数据1，3，2，5，4，则这组数据的标准差为________． 解析：这组数据1，3，2，5，4的平均数为×(1＋3＋2＋5＋4)＝3，故这组数据的标准差为：＝.  题型探究·课堂解透 题型 1　方差和标准差的计算与应用例1　[2022·河北保定高一期末]已知甲工厂生产一种内径为36.5mm的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的2 000件零件中抽出100件，测得其内径尺寸如下(单位：mm)：36.2×16，36.6×12，36.3×12，36.4×12，36.5×20，36.7×12，36.8×16.注：x×n表示有n件尺寸为x mm的零件．(1)求这100件零件内径尺寸的平均数；(2)设这100件零件内径尺寸的方差为s2，试估计该厂2 000件零件中其内径尺寸(单位：mm)在(－s，＋0.5s)内的件数；(3)若乙工厂也生产同种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的2 000件零件中抽出100件，测得其内径(单位：mm)的方差为0.040 5，试比较甲、乙两工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性．  解析：(1)＝＝36.5.(2)因为＝＝0.3，＝＝0.1，＝＝0.2，＝0，故s2＝(0.32×16×2＋0.12×12×2＋0.22×12×2)＝0.040 8.所以s＝∈(0.2，0.21)，故(－s，＋0.5s)∈(36.29，36.605)，故1件零件内径尺寸在(－s，＋0.5s)内的频率为＝0.56，故估计该厂2 000件零件中其内径尺寸在(－s，＋0.5s)内的件数为2 000×0.56＝1 120.(3)因为甲工厂抽检的100个零件内径尺寸的方差0.040 8>0.040 5，所以乙工厂抽检的100件零件内径尺寸的稳定性更好．  题后师说在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度．在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定． 巩固训练1　从甲、乙两个工人做出的同一种零件中，各抽出4个，量得它们的直径(单位：mm)如下：甲生产零件的尺寸：9.98，10.00，10.02，10.00；乙生产零件的尺寸：10.00，9.97，10.03，10.00.求出它们的方差，并说明在使用零件的尺寸符合规定方面谁做得较好．  解析：甲生产零件的尺寸的平均数：＝(9.98＋10.00＋10.02＋10.00)＝10.00(mm)，乙生产零件的尺寸的平均数：＝(10.00＋9.97＋10.03＋10.00)＝10.00(mm)，甲生产零件的尺寸的方差：＝[(9.98－10.00)2＋(10.00－10.00)2＋(10.02－10.00)2＋(10.00－10.00)2]＝0.000 2(mm2)，乙生产零件的尺寸的方差：＝[(10.00－10.00)2＋(9.97－10.00)2＋(10.03－10.00)2＋(10.00－10.00)2]＝0.000 45(mm2)，则有，所以在使用零件符合规定方面甲做得较好．  题