2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册1.3.2第二课时 数列求和 （课件）

第二课时　数列求和 题型突破·析典例01三维微点02知能演练·扣课标03目录CONTENTS 01题型突破·析典例 ⁠ ⁠题型一　分组转化法求和【例1】　已知各项都不相等的等差数列{an}，a6＝6，又a1，a2，a4成等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；解　（1）∵{an}为各项都不相等的等差数列，a6＝6，且a1，a2，a4成等比数列.∴解得∴数列{an}的通项公式an＝1＋（n－1）×1＝n.  （2）设bn＝＋2n，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　（2）∵bn＝＋2n＝2n＋2n，∴数列{bn}的前n项和Sn＝（2＋22＋23＋…＋2n）＋2（1＋2＋3＋…＋n）＝＋2×＝2n＋1－2＋n2＋n. 通性通法　　若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减.分组时有分项分组、并项分组、裂项分组、奇偶项分组等不同的分组形式，但不论哪种形式，必须保证所分各组能够分别求和. ⁠ ⁠（2021·新高考Ⅰ卷·节选）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝求{an}的前20项和. 解：因为an＋1＝所以k∈N＋时，a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，  即a2k＝a2k－1＋1，　①a2k＋1＝a2k＋2，　②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，　③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以数列{an}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.所以数列{an}的前20项和S20＝（a1＋a3＋a5＋…＋a19）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a20）＝10＋×3＋20＋×3＝300.  题型二　裂项相消法求和【例2】　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－1，数列{bn}是等差数列，且b1＝a1，b6＝a5.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；解　（1）由Sn＝2an－1，可得n＝1时，a1＝2a1－1，解得a1＝1，n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，又Sn＝2an－1，两式相减可得an＝Sn－Sn－1＝2an－1－2an－1＋1，即有an＝2an－1，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1；设等差数列{bn}的公差为d，且b1＝a1＝1，b6＝a5＝16，可得d＝＝3，所以bn＝1＋3（n－1）＝3n－2.  （2）若cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，证明：3Tn＜1. 解　（2）证明：cn＝＝＝，所以Tn＝（1－＋－＋－＋…＋－）＝＜，则3Tn＜1.  通性通法　　裂项相消法是最难把握