2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 第六章平面向量及其应用 章末复习课 学案

专项培优 1 　章末复习课 考点一　平面向量的线性运算 1 ．进行向量的线性运算常见的方法有两种：定义法和坐标法 (1) 在定义运算中，要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，利用三角形法则或平行四边形法 则，结合平面向量的基本定理求解． (2) 若条件是给出坐标的向量，则直接进行运算．若向量在含有垂直关系的几何图形中给出，则可以建立坐标系利用坐标进行向量的运算，从而转化为实数的运算求解． 2 ．通过对平面向量线性运算的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养． 例 1 　 (1) [2022· 新高考 Ⅰ 卷 ] 在 △ ABC 中，点 D 在边 AB 上， BD ＝ 2 D A. 记 ＝ m ， ＝ n ，则 ＝ ( 　　 ) A ． 3 m － 2 n B ．－ 2 m ＋ 3 n C ． 3 m ＋ 2 n D ． 2 m ＋ 3 n (2) [2022· 江苏徐州高一期末 ] 在 △ ABC 中， ＝ 2 ， 若 ＝ λ ＋ μ ， 则 的值为 ( 　　 ) A ．－ B ．－ C ． D ． 考点二　平面向量的数量积及其应用 1 ．向量的夹角及垂直问 题 (1) 两个非零向量 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) 垂直 ⇔ a · b ＝ 0⇔ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＝ 0 ，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系． (2) 两个向量的夹角公式 ( θ 为两个非零向量 a ， b 的夹角 ) ： cos θ ＝ ＝ . 2 ．向量的长度 ( 模 ) 与距离的问题 求向量的模主要有以下两种方法： (1) 利用公式 | a | 2 ＝ a 2 将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、合并，使问题得以解决； (2) 利用公式 | a | ＝ 将其转化为实数运算，使问题得以解决． 3 ．通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养． 例 2 　 (1) [2022· 新高考 Ⅱ 卷 ] 已知向量 a ＝ (3 ， 4) ， b ＝ (1 ， 0) ， c ＝ a ＋ t b ，若〈 a ， c 〉＝〈 b ， c 〉，则 t ＝ ( 　　 ) A ．－ 6 B ．－ 5 C ． 5 D ． 6 (2) [2022· 全国乙卷 ] 已知向量 a ， b 满足 | a | ＝ 1 ， | b | ＝ ， | a － 2 b | ＝ 3 ，则 a · b ＝ ( 　　 ) A ．－ 2 B ．－ 1 C ． 1 D ． 2 (3) [2022· 全国甲卷 ] 设向量 a ， b 的夹角的余弦值为 ，且 ＝ 1 ， ＝ 3 ，则 (2 a ＋ b )· b ＝ ________ ． (4) [2021· 新高考 Ⅱ 卷 ] 已知向量 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， ＝ 1 ， ＝ ＝ 2 ， a · b ＋ b · c ＋ c · a ＝ ________ ． 考点三　正、余弦定理的应用 1 ．解三角形就是已知三角形中的三个独立元素 ( 至少一条边 ) 求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素 ( 边和角 ) 和非基本元素 ( 中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径 ) ，解三角 形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积． 2 ．解斜三角形共包括四种类型： (1) 已知三角形的两角和一边 ( 一般先用内角和求角或用正弦定理求边 ) ； (2) 已知两边及夹角 ( 一般先用余弦定理求第三边 ) ； (3) 已知三边 ( 先用余弦定理求角 ) ； (4) 已知两边和一边的对角 ( 先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数 ) ． 3 ．通过对正、余弦定理的应用的考查，提升学生逻辑推理和数学运算素养． 例 3 　 [2022 ·全国乙卷 ] 记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin C sin ( A － B ) ＝ sin B sin ( C － A ) ． (1) 证明： 2 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ； (2) 若 a ＝ 5 ， cos A ＝ ，求 △ ABC 的周长． 例 4 　 [2022· 新高考 Ⅰ 卷 ] 记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 ＝ . (1) 若 C ＝ ，求 B ； (2) 求 的最小值． 专项培优 1 　章末复习课 考点聚集 · 分类突破 例 1 　 解析： (1) 因为点 D 在边 AB 上， BD ＝ 2 DA ，所以 ＝ 2 ， 即 ＝ 2( ) ， 所以 ＝ 3 － 2 ＝ 3 n － 2 m ＝－ 2 m ＋ 3 n . 故选 B. (2) 因为 ＝ 2 ， 所以 D 为 AB 上靠近点 A 的三等分点， 所以 ＝ ＝ ＋ 2 ＝ ＋ 2( ) ＝ 3 － 2 ， 因为 ＝ λ ＋ μ ， 所以 λ ＝－ 2 ， μ ＝ 3 ， 所以 ＝ ＝－ ，故选 A. 答案： (1)B 　 (2)A 例 2 　解析： (1) c ＝ (3 ＋ t ， 4) ， cos 〈 a ， c 〉＝ cos 〈 b ， c 〉，即 ＝ ，解得 t ＝ 5 ，故选 C. (2)∵| a － 2 b | 2 ＝ | a | 2 － 4 a · b ＋ 4 2 ， 又 ∵| a | ＝ 1 ， | b | ＝ ， | a － 2 b | ＝ 3 ， ∴9 ＝ 1 － 4 a · b ＋ 4 × 3 ＝ 13 － 4 a · b ， ∴ a · b ＝ 1 故选 C. (3) 设 a 与 b 的夹角为 θ ，因为 a 与 b 的夹角的余弦值为 ，即 cos θ ＝ ， 又 ＝ 1 ， ＝ 3 ，所以 a · b ＝ · cos θ ＝ 1 × 3 × ＝ 1 ， 所以 (2 a ＋ b )· b ＝ 2 a · b ＋ b 2 ＝ 2 a · b ＋ 2 ＝ 2 × 1 ＋ 3 2 ＝ 11. (4) 由已知可得 ( a ＋ b ＋ c ) 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ 2( a · b ＋ b · c ＋ c · a ) ＝ 9 ＋ 2( a · b ＋ b · c ＋ c · a ) ＝ 0 ， 因此， a · b ＋ b · c ＋ c · a ＝－ . 答案： (1)C 　 (2)C 　 (3)11 　 (4) － 例 3 　解析： (1) 证明：因为 sin C sin ( A － B ) ＝ sin B sin ( C － A ) ， 所以