第一章 三角函数§7 正切函数
课时1 正切函数的定义及其诱导公式
学习目标 1.借助单位圆中的三角函数线推导出正切函数的诱导公式.（逻辑推理） 2.掌握正切函数的诱导公式.（数学抽象）
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前面我们学习过 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀.利用正弦、余弦的诱导公式和正切 <m></m> 的定义，回答下列问题. 1. <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 有什么关系？ [答案] <m></m> ， <m></m> .
2. <m></m> ， <m></m> 与 <m></m> 有什么关系？ [答案] <m></m> ， <m></m> . 3.求 <m></m> 的值. [答案] 原式 <m></m> .
1. <m></m> ( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> A[解析] <m></m> .故选A.
2.函数 <m></m> 的定义域是( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> ， <m></m> A[解析] 由题可得 <m></m> 解得 <m></m> ，∴函数 <m></m> 的定义域为 <m></m> .
3.设 <m></m> ，则 <m></m> 是 <m></m> 的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件A[解析] 当 <m></m> 时， <m></m> 显然成立，即若 <m></m> 则 <m></m> 成立； 当 <m></m> 时， <m></m> ， <m></m> ，即若 <m></m> 则 <m></m> 不成立.综上， <m></m> 是 <m></m> 的充分不必要条件，故选A.
4.若点 <m></m> 在函数 <m></m> 的图象上，则 <m></m> 的值为_____. <m></m> [解析] 因为点 <m></m> 在函数 <m></m> 的图象上，所以 <m></m> ，解得 <m></m> ，所以 <m></m> .
探究1 三角函数间关系的应用 观察 <m></m> 的图象，根据图象，总结角 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 的正切与角 <m></m> 的正切的关系.
问题1：根据图象的对称性，点 <m></m> ， <m></m> 与点 <m></m> 有什么关系？ [答案] <m></m> 与 <m></m> 相差一个周期， <m></m> 与 <m></m> 关于原点对称.故 <m></m> ， <m></m> . 问题2：利用上述公式，如何求 <m></m> 的值？与 <m></m> 的等式关系是什么？ [答案] <m></m>
问题3：参考下面的框图，想想每次变换应该运用哪些公式？[答案] &1&
新知生成 正切函数的诱导公式角 <m></m> 函数 <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> <m></m>
新知运用例1 已知角 <m></m> 的顶点在原点，始边与 <m></m> 轴的非负半轴重合，终边经过点 <m></m> ，且 <m></m> . （1）求 <m></m> 的值； （2）求 <m></m> 的值. 方法指导 （1）利用正切函数的定义求 <m></m> ，再求 <m></m> ， <m></m> 的值；（2）将式子用 <m></m> 表示.
[解析] （1）因为 <m></m> ，所以 <m></m> ，则 <m></m> ,故 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> .（2）原式 <m></m> .
&2& 三角函数之间关系的应用 利用 <m></m> 进行弦切互化,正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切.
已知 <m></m> 为第二象限角，且 <m></m> ，求 <m></m> 的值.
[解析] 由 <m></m> ，得 <m></m> ，解得 <m></m> 或 <m></m> .又 <m></m> 为第二象限的角，所以 <m></m> .故 <m></m> .
探究2 利用诱导公式求值 数学课上，老师在黑板上写了这样一个问题：已知 <m></m> ，求 <m></m> 的值. 张瑜同学是这样解答的： <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 李琦同学是这样解答的： <m></m> ，
<m></m> . 谢凡评价说：张瑜的解题过程有点问题，要是 <m></m> 换成 <m></m> ，张瑜的解法可能无法再用了. 问题1：谢凡的评价是否正确？为什么？[答案] 正确，张瑜只是找到了满足条件的特殊角，对于是否有其他角，其他的结果，无从知晓，方法不得当.
问题2：将 <m></m> 改为 <m></m> 后， <m></m> 的值是什么？ [答案] <m></m> ， <m></m> . 问题3： <m></m> 的值是多少？ [答案] <m></m> .
新知生成 给值求值的策略：（1）借助于诱导公式可以将任意的角转化为 <m></m> 内的角;（2）给定某一角的三角函数值，在求另外一个不同角的三角函数值时，可以用已知的角整体代替未知的角进行求解.
新知运用例2 （1）求值: <m></m> . （2）若 <m></m> ，求 <m></m> 的值. 方法指导 先利用诱导公式化为锐角三角函数，再求值.
[解析] （1）原式 <m></m> <m></m> .（2） <m></m> ， <m></m> <m></m> ， <m></m> .∴原式 <m></m> .
&3& 解答此类问题的基本策略是，一方面准确化简已知条件，另一方面联想所求问题的处理方法，两方面紧密结合，找到解题思路.
1.已知 <m></m> ，则 <m></m> 的值为( ). A. <m></m> B. <m></m> C. <m></m> D. <m></m> D[解析] <m></m> .
2. <m></m> _____. <m></m> [解析] <m></m> <m></m> <m
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 正切函数的定义及其诱导公式 课件
