2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅰ）全解析版

2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．设 ，则 　　 A ． 2 B ． C ． D ． 1 2 ．已知集合 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， ， ， 3 ， 4 ， ， ， 3 ， 6 ， ，则 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 6 ， 3 ．已知 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．函数 的图象在 ， 的大致为 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．某学校为了解 1000 名新生的身体素质，将这些学生编号 1 ， 2 ， ， 1000 ，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验．若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 　　 A ． 8 号学生 B ． 200 号学生 C ． 616 号学生 D ． 815 号学生 7 ． 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则 的离心率为 　　 A ． B ． C ． D ． 11 ． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 　　 A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3 12 ．已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点．若 ， ，则 的方程为 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．曲线 在点 处的切线方程为 　　 ． 14 ．记 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 　　 ． 15 ．函数 的最小值为 　　 ． 16 ．已知 ， 为平面 外一点， ，点 到 两边 ， 的距离均为 ，那么 到平面 的距离为 　　 ． 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （ 1 ）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （ 2 ）能否有 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： ． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18 ．（ 12 分）记 为等差数列 的前 项和，已知 ． （ 1 ）若 ，求 的通项公式； （ 2 ）若 ，求使得 的 的取值范围． 19 ．（ 12 分）如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， ， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点． （ 1 ）证明： 平面 ； （ 2 ）求点 到平面 的距离． 20 ．（ 12 分）已知函数 ， 为 的导数． （ 1 ）证明： 在区间 存在唯一零点； （ 2 ）若 ， 时， ，求 的取值范围． 21 ．（ 12 分）已知点 ， 关于坐标原点 对称， ， 过点 ， 且与直线 相切． （ 1 ）若 在直线 上，求 的半径； （ 2 ）是否存在定点 ，使得当 运动时， 为定值？并说明理由． （二）选考题： 共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （ 1 ）求 和 的直角坐标方程； （ 2 ）求 上的点到 距离的最小值． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分） 23 ．已知 ， ， 为正数，且满足 ．证明： （ 1 ） ； （ 2 ） ． 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．设 ，则 　　 A ． 2 B ． C ． D ． 1 【思路分析】 直接利用复数商的模等于模的商求解． 【解析】： 由 ，得 ． 故选： ． 【归纳与总结】 本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题． 2 ．已知集合 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， ， ， 3 ， 4 ， ， ， 3 ， 6 ， ，则 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 6 ， 【思路分析】 先求出 ，然后再求 即可求解 【解析】： ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， ， ， 3 ， 4 ， ， ， 3 ， 6 ， ， ， 6 ， ， 则 ， 故选： ． 【归纳与总结】 本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础试题． 3 ．已知 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【思路分析】 由指数函数和对数函数的单调性易得 ， ， ，从而得出 ， ， 的大小关系． 【解析】： ， ， ， ， ， 故选： ． 【归纳与总结】 本题考查了指数函数和对数