2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）（全解析版）

2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．已知集合 ， ， ， ，则 中元素的个数为 　　 A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 6 2 ．复数 的虚部是 　　 A ． B ． C ． D ． 3 ．在一组样本数据中， 1 ， 2 ， 3 ， 4 出现的频率分别为 ， ， ， ，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 4 ． 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 的单位：天）的 模型： ，其中 为最大确诊病例数．当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为 　　 A ． 60 B ． 63 C ． 66 D ． 69 5 ．设 为坐标原点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为 　　 A ． ， B ． ， C ． D ． 6 ．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ， 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．在 中， ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．已知 ，则 　　 A ． B ． C ． 1 D ． 2 10 ．若直线 与曲线 和圆 都相切，则 的方程为 　　 A ． B ． C ． D ． 11 ．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ． 是 上一点，且 ．若△ 的面积为 4 ，则 　　 A ． 1 B ． 2 C ． 4 D ． 8 12 ．已知 ， ．设 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．若 ， 满足约束条件 则 的最大值为 　　 ． 14 ． 的展开式中常数项是 　　 （用数字作答）． 15 ．已知圆锥的底面半径为 1 ，母线长为 3 ，则该圆锥内半径最大的球的体积为 　　 ． 16 ．关于函数 有如下四个命题： ① 的图象关于 轴对称． ② 的图象关于原点对称． ③ 的图象关于直线 对称． ④ 的最小值为 2 ． 其中所有真命题的序号是 　　 ． 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）设数列 满足 ， ． （ 1 ）计算 ， ，猜想 的通项公式并加以证明； （ 2 ）求数列 的前 项和 ． 18 ．（ 12 分）某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天） 锻炼人次 空气质量等级 ， ， ， 1 （优 2 16 25 2 （良 5 10 12 3 （轻度污染） 6 7 8 4 （中度污染） 7 2 0 （ 1 ）分别估计该市一天的空气质量等级为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的概率； （ 2 ）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ 3 ）若某天的空气质量等级为 1 或 2 ，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4 ，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 列联表，并根据列联表，判断是否有 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19 ．（ 12 分）如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ． （ 1 ）证明：点 在平面 内； （ 2 ）若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 20 ．（ 12 分）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点． （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积． 21 ．（ 12 分）设函数 ，曲线 在点 ， 处的切线与 轴垂直． （ 1 ）求 ； （ 2 ）若 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： 所有零点的绝对值都不大于 1 ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数且 ， 与坐标轴交于 ， 两点． （ 1 ）求 ； （ 2 ）以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 的极坐标方程． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分） 23 ．设 ， ， ， ， ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）用 ， ， 表示 ， ， 的最大值，证明： ， ， ． 2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．已知集合 ， ， ， ，则 中元素的个数为 　　 A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 6 【思路分析】 利用交集定义求出 ， ， ， ．由此能求出 中元素的个数． 【解析】： 集合 ， ， ， ， ， ， ， ， ． 中元素的个数为 4 ．故选： ． 【总结与归纳】 本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2 ．复数 的虚部是 　　 A ． B ． C ． D ． 【思路分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化