核心素养思维脉络1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(数学抽象)2.能根据实际问题的特征,正确选择计数原理解决实际问题.(逻辑推理与数学运算)
课前篇 自主预习
激趣诱思分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系有哪些?
知识点拨一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 原理名称分类加法计数原理分步乘法计数原理任务做一件事步骤完成它有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法完成它需要经过n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法结果完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法完成这件事共有m1·m2·…·mn种方法
名师点析应用分类加法计数原理一定要明确分类标准,而应用分步乘法计数原理一定明确分步的依据,注意区分两者的不同之处
微练习1若把10个苹果分成3份,要求每份至少1个,至多5个,则不同的分法种数共有( )A.5种 B.6种 C.4种 D.3种答案 C解析 由于分成3份,每份至少1个,至多5个,故有一份1个苹果,其余两份只能选一份5个,一份4个;有一份2个苹果,则其余两份可能一份5个,一份3个,或两份都是4个;有一份3个苹果,则其余两份只能是一份4个,一份3个.所以不同的分法种数共有1+2+1=4.
微练习2若在登录某网站时弹出一个4位的验证码:XXXX(如2a8t).第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个,第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个,则这样的验证码的个数共有 . 答案 67 600解析 要完成这件事可分四步:第一步,确定验证码的第一位,共有10种方法;第二步,确定验证码的第二位,共有26种方法;第三步,确定验证码的第三位,共有10种方法;第四步,确定验证码的第四位,共有26种方法.由分步乘法计数原理可得,这样的验证码的个数共有10×26×10×26=67 600.
二、两个计数原理的区别与联系 原理名称分类加法计数原理分步乘法计数原理联系分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题区别一分类加法计数原理针对的是“分类”问题分步乘法计数原理针对的是“分步”问题区别二各种方法互相独立各个步骤互相依存区别三任何一种方法都可以完成这件事只有各个步骤都完成才算完成这件事
名师点析分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这个标准下进行分类.一般地,标准不同,分类的结果也不同.分步时,首先确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同.
微练习1袋中有8个不同的红球,7个不同的白球,6个不同的黄球,现从中任取两个不同颜色的球,则不同的取法有( )A.336种 B.21种C.104种 D.146种答案 D解析 分三类:当取出一红一白时,有8×7种不同的取法;当取出一红一黄时,有8×6种不同的取法;当取出一白一黄时,有7×6种不同的取法.由分类加法计数原理知有N=8×7+8×6+7×6=146种不同的取法.
微练习2从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( )A.280种 B.240种C.180种 D.96种答案 B解析 由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B.
课堂篇 探究学习
探究一排数问题例1用0,1,2,3,4五个数字:(1)可以排成多少个三位数的电话号码?(2)可以排成多少个三位数?(3)可以排成多少个能被2整除且无重复数字的三位数?
解 (1)三位数字的电话号码,首位可以是0,数字也可以重复,每个位置都有5种排法,共有5×5×5=53=125种排法.(2)三位数的首位不能为0,但可以有重复数字,首先考虑首位的排法,除0外共有4种方法,第二、三位可以排0,因此,共有4×5×5=100种排法.(3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类是末位数字是0,则有4×3=12种排法;一类是末位数字不是0,则末位有2种排法,即2或4,再排首位,因0不能在首位,所以有3种排法,十位有3种排法,因此有2×3×3=18种排法.因而有12+18=30种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.
延伸探究由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数?解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第二步定首位,把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个,有3种方法;第三步,第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法,再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知,共有2×3×3×2=36(个).
反思感悟 对于组数问题,应掌握以下原则:(1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.(2)要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的最高位.
变式训练1(1)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.(用数字作答) (2)我们把各数位上数字之和为6的四位数称为“六
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 计数原理的简单应用 课件
