不等式（提高强化练习）高三一轮复习高中数学全国通用版

不等式 （ 提高强化练习 ） 高中数学复习（稍难） 一．选择题（共 8 小题） 1 ．若 a ， b ， c 均为正数，且满足 a 2 +3 ab +3 ac +9 bc ＝ 18 ，则 2 a +3 b +3 c 的最小值是（　　） A ． 6 B ． C ． D ． 2 ．实数 x ， y 满足 x + y ＝ ﹣ 1 ， x ＞ 0 ，则 的最小值为（　　） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 3 ．设 x ， y 为正实数，若 2 x + y +2 xy ＝ ，则 2 x + y 的最小值是（　　） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 4 ．已知 ，则下列不等式不一定成立的是（　　） A ． a ＜ b B ． C ． D ． ln （ b ﹣ a ）＞ 0 5 ．在 R 上定义运算 ⊗ ： x ⊗ y ＝ ，若关于 x 的不等式（ x ﹣ a ） ⊗ （ x ﹣ 1 ﹣ a ） ≥0 的解集是集合 { x | ﹣ 2 ＜ x ≤4} 的子集，则实数 a 的取值范围为（　　） A ． ﹣ 2 ＜ a ＜ 1 B ． ﹣ 2≤ a ＜ 1 C ． ﹣ 2 ＜ a ≤1 D ． ﹣ 2≤ a ≤1 6 ．若实数 a 、 b 满足 a 2 ＞ b 2 ＞ 0 ，则下列不等式中成立的是（　　） A ． a ＞ b B ． 2 a ＞ 2 b C ． a ＞ | b | D ． log 2 a 2 ＞ log 2 b 2 7 ．已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，且 ，那么 a + b 的最小值为（　　） A ． B ． 2 C ． D ． 4 8 ．已知定义在 R 上的偶函数 f （ x ）＝ | x ﹣ m +1| ﹣ 2 ，若正实数 a 、 b 满足 f （ a ） + f （ 2 b ）＝ m ，则 的最小值为（　　） A ． B ． 9 C ． D ． 8 二．多选题（共 4 小题） （多选） 9 ．若二次函数 f （ x ）＝ x 2 + （ 2 ﹣ a ） x +1 在区间 [ ﹣ 1 ， 2] 上是增函数，则 a 可以是（　　） A ． ﹣ 1 B ． 0 C ． 1 D ． 2 （多选） 10 ．设函数 f （ x ）＝ x 2 + bx + c 满足 f （ 0 ）＝ 1 ， f （ ﹣ 3 ﹣ x ）＝ f （ x ），则下列结论正确的是（　　） A ． 1 ﹣ b + c ＜ 0 B ． ∀ x ∈ R ， f （ x ） ≥ ﹣ x ﹣ 3 C ．若 a ≥1 ，则 ∀ x ∈ R ， f （ x ） ≥ ax D ．若 ∀ x ＞ 0 ， kf （ x ） ≥ x ，则 （多选） 11 ．已知函数 f （ x ）＝ x 2 ﹣ 2 x +2 ，关于 f （ x ）的最值有如下结论，其中正确的是（　　） A ． f （ x ）在区间 [ ﹣ 1 ， 0] 上的最小值为 1 B ． f （ x ）在区间 [ ﹣ 1 ， 2] 上既有最小值，又有最大值 C ． f （ x ）在区间 [2 ， 3] 上的最小值为 2 ，最大值为 5 D ． f （ x ）在区间 [0 ， a ] （ a ＞ 1 ）上的最大值为 f （ a ） （多选） 12 ．已知 a ∈ Z ，关于 x 的一元二次不等式 x 2 ﹣ 6 x + a ≤0 的解集中有且仅有 3 个整数，则 a 的值可以是（　　） A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 9 三．填空题（共 5 小题） 13 ．已知实数 a ， b 满足， b ＝ 1+ a ， b ∈ （ 0 ， 1 ），则 的最小值为 　 　 ． 14 ．设 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，若 ，则 的最小值是 　 　 ． 15 ．已知正数 x ， y 满足 ，则 xy 的最小值是 　 　 ． 16 ．已知正数 x ， y 满足 x 2 ＝ y 3 ＜ 1 ，给出以下结论： ① 0 ＜ x ＜ y ＜ 1 ， ② x ＞ y ＞ 1 ， ③ ， ④ ．其中正确的是 　 　 ．（请写出所有正确结论的序号） 17 ．设正实数 x 、 y 满足 2 x + y ＝ 1 ，则 的最小值为 　 　 ． 四．解答题（共 5 小题） 18 ．已知函数 f （ x ）＝ ax 2 + bx ， a ∈ （ 0 ， 1 ）． （ 1 ）若 f （ 1 ）＝ 1 ，且 b ＞ 0 ，求 的最小值； （ 2 ）若 f （ 1 ）＝ ﹣ 1 ，求关于 x 的不等式 f （ x ） +1 ＞ 0 的解集． 19 ．已知函数 ． （ 1 ）利用单调性定义证明： f （ x ）在（ 0 ， +∞ ）上是增函数； （ 2 ）解不等式 ． 20 ．（ 1 ）已知 ，求 的最大值； （ 2 ）已知 ，求 的最大值； （ 3 ）已知 x ＞ 0 ，求 的最大值． 21 ．已知函数 f （ x ）＝ x 2 + bx + c （ b ， c ∈ R ）是定义在 R 上的偶函数，且满足 ． （ 1 ）求函数 f （ x ）的解析式； （ 2 ）试判断函数 在 [1 ， +∞ ）上的单调性并证明． 22 ．已知关于 x 的不等式 ax 2 ﹣ b ≥2 x ﹣ ax （ a ， b ∈ R ）． （ 1 ）若不等式的解集为 { x | ﹣ 2≤ x ≤ ﹣ 1} ，求 a ， b 的值； （ 2 ）若 a ＜ 0 ，解不等式 ax 2 ﹣ 2≥2 x ﹣ ax ． 2023 年高中数学复习新题速递之不等式 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题） 1 ．若 a ， b ， c 均为正数，且满足 a 2 +3 ab +3 ac +9 bc ＝ 18 ，则 2 a +3 b +3 c 的最小值是（　　） A ． 6 B ． C ． D ． 【考点】基本不等式及其应用． 【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算． 【答案】 C 【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可． 【解答】解： a 2 +3 ab +3 ac +9 bc ＝ 18 ⇒ a （ a +3 b ） +3 c （ a +3 b ）＝ 18 ⇒ （ a +3 b ）（ a +3 c ）＝ 18 ， 因为 a ， b ， c 均为正数， 所以 ， 当且仅当 a +3 b ＝ a +3 c 时取等号，即 时取等号， 故选： C ． 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题． 2 ．实数 x ， y 满足 x + y ＝ ﹣ 1 ， x ＞ 0 ，则 的最小值为（　　） A ． 1 B ．