2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 数学归纳法 (课件)

课标阐释思维脉络1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理) 课前篇 自主预习 激趣诱思某主妇养小鸡十只,公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋,公鸡则养到一百天就陆续宰杀.她每天早晨拿米喂鸡,到第一百天的早晨,其中的一只公鸡正在想:“第一天早晨有米吃,第二天早晨有米吃,……,第九十九天早晨有米吃,所以今天,第一百天的早晨,一定有米吃.”这时,主妇来了,正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米,反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验,但不能证明第一百天一定有米吃.对这只公鸡的推理可称为“公鸡归纳法”.请问同学们“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗? 知识梳理数学归纳法的定义数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 名师点析数学归纳法中的两个步骤之间的关系记P(n)是一个关于正整数n的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下:条件:(1)证P(n0)为真;(2)证若P(k)(k∈N+,k≥n0)为真,则P(k+1)也为真,结论:P(n)为真.第一步验证了当n=n0时结论成立,即命题P(n0)为真;第二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题:若P(k)为真,则P(k+1)也为真.只要将这两个步骤完成,就有P(n0)为真,P(k)真,P(k+1)真……,从而完成证明. 微思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示 不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3. 微判断(1)在利用数学归纳法证明问题时,只要推理过程正确,也可以不用归纳假设.(　　)(2)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.(　　)(3)用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的项数一定只增加了一项.(　　)× × × 微练习在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步应验证n等于(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4答案 C解析 边数最少的凸n边形是三角形,故选C. 课堂篇 探究学习 探究一用数学归纳法证明等式例1(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N+),“从k到k+1”左端增乘的代数式为　　　　　. (1)答案 2(2k+1) 解析 令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2), 即当n=k+1时等式也成立.由①②可得对于任意的n∈N+等式都成