辽宁省实验中学、吉林省东北师大附中、黑龙江省哈尔滨师大附中2022-2023学年高三下学期第一次联合模拟数学试卷（原卷解析版）

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 2023 年高三第一次联合模拟考试 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 . 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 . 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 4 0 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 . 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A . B. C. D. 2. 已知 i 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量非零 、 满足 ，且向量 在向量 方向的投影向量是 ，则向量 与 的夹角是（ ） A . B. C. D. 4. 杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家 . 著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》 . 杨辉三角的发现要比欧洲早 500 年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 . 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等 . 我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和 . ； . 若杨辉三角中第三斜行的数： 1 ， 3 ， 6 ， 10 ， 15 ，…构成数列 ，则关于数列 叙述正确的是（ ） A. B . C. 数列 的前 项和为 D. 数列 的前 项和为 5 . 若 ，则 （ ） A . B.1 C. D. 6. “阿基米德多面体”也称为半正多面体（ ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美 . 如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体 . 已知 ，则该半正多面体外接球的表面积为 （ ） A . B. C. D. 7. 某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为 9 个区域（如图），现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为 （ ） A . B. C. D. 8. 已知函数 ，若关于 的方程 有且仅有四个相异实根，则实数 的取值范围为 （ ） A . B. C. D. 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9. 函数 （其中 ， ， 是常数， ， ， ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A . 的值域为 B. 的最小正周期为 C. D. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象 10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点 . 已知抛物线 ， 为坐标原点，一条平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射，再经过 上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 . 下列说法正确的是 （ ） A . B. 若延长 交直线 于 ，则点 在直线 上 C. 平分 D. 抛物线 在点 处的切线分别与直线 、 所成角相等 11. 已知实数 ， 满足 ，下列结论中正确的是 （ ） A . B. C. D. 12. 已知异面直线 与直线 ，所成角为 60 ° ，平面 与平面 所成的二面角为 80 ° ，直线 与平面 所成的角为 15 ° ，点 为平面 、 外一定点，则下列结论正确的是 （ ） A. 过点 且与直线 、 所成角均为 30 ° 的直线有 3 条 B. 过点 且与平面 、 所成角都是 30 ° 的直线有 4 条 C. 过点 作与平面 成 55 ° 角的直线，可以作无数条 D. 过点 作与平面 成 55 ° 角，且与直线 成 60 ° 的直线，可以作 3 条 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 的二项展开式中 的系数是 _ _____. （用数字作答） 14. 若 为奇函数，则实数 _ _____. 15. 已知圆 ，直线 交圆 于 、 两点，若 的面积为 2 ，则实数 的值为 _ _____. 16. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 、 在椭圆 上，满足 ， ，若椭圆 的离心率 ，则实数 取值范围为 _ _____. 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17. （本小题满分 10 分） 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， . 从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立 . ① ；② ；③ . 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分 . 18. （本小题满分 12 分） 已知等差数列 的首项 ，记 的前 项和为 ， . （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）若数列 公差 ，令 ，求数列 的前 项和 . 19. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 为棱 的中点 . （ 1 ）证明：平面 平面 ； （ 2 ）若 ， ，求二面角 的正弦值 . 20. （本小题满分 12 分） 某学校号召学生参加“每天锻炼 1 小时”活