核心素养思维脉络1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.(数学抽象)2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.(逻辑推理与数学运算)
课前篇 自主预习
激趣诱思设从东、西、南、北四个方向通往山顶的路分别有2,3,3,4条,若要使从四个方向中的任一方向上山,而从剩余的三个方向中的任一方向下山的走法最多,则应选择从哪边上山呢?
知识点拨一、分类加法计数原理1.内容:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.(也称“加法原理”)2.特点:①完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不交;②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;③把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
名师点析(1)定性:①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;②怎样才算完成这件事;③完成这件事可以有哪些办法.(2)独立性:①完成这件事的n类办法是相互独立的;②每一类办法中的方法都可以单独完成这件事,不需要用到其他的方法.(3)分类:这是利用分类加法计数原理解题的关键,分类必须明确标准,①每一种方法都必须属于某一类,不同类的任意两种方法是不同的;②每一类中的任意两种方法也不相同.
微判断(1)在分类加法计数原理中,两类不同办法中的方法可以相同.( )(2)在分类加法计数原理中,每类办法中的方法都能完成这件事.( )√ ×
微思考用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?提示因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
二、分步乘法计数原理1.内容:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种方法(也称“乘法原理”).2.特点:①完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.
名师点析(1)定性:①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;②要经过几步才能完成这件事.(2)相关性:①完成这件事需要分成若干个步骤;②只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少任一步骤,这件事都不可能完成.(3)分步:这是利用分步乘法计数原理解题的关键,①准确确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同;②要注意各步骤之间必须连续;③各步骤之间既不能重复,也不能遗漏.
微判断(1)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )(2)在分步乘法计数原理中,事情若是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成.( )√ √
微思考用A,B,C,D,E,F这6个大写英文字母和1~9这9个阿拉伯数字,以A1,A2,…和B1,B2,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?提示编写一个号码要先确定一个英文字母,后确定一个阿拉伯数字,由于这6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有6×9=54个不同的号码.
课堂篇 探究学习
探究一分类加法计数原理例1个位数字比十位数字大的两位数有多少个? 解 (方法一)按个位数字分类,有以下几类:个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故有8个;个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故有7个;同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个;…;个位是2的有1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).(方法二)按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).
反思感悟 应用分类加法计数原理应注意如下问题:(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些方法,怎样才算是完成这件事.(2)无论哪类办法中的哪种方法都可以独立完成这件事,而不需要再用到其他的方法,即各类方法之间是互斥的,并列的,独立的.
变式训练1若a,b均属于{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,则有序数对(a,b)的个数为( )A.14 B.13 C.12 D.10答案 B解析 因为a,b均属于{-1,0,1,2},可分为两类:①当a=0时,b可能为-1或0或1或2,即b有4种不同的选法;②当a≠0时,依题意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.当a=-1时,b有4种不同的选法;当a=1时,b可能为-1或0或1,即b有3种不同的选法;当a=2时,b可能为-1或0,即b有2种不同的选法.根据分类加法计数原理,有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.
探究二分步乘法计数原理例2已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)表示平面上的点(a∈M,b∈M),则(1)P可表示平面上多少个不同的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示平面上多少个不在直线y=x上的点?
解 (1)确定平面上的点P(a,b)可分两步完成:第一步确定a的值,共有6种方法;第二步确定b的值,也有6种方法.根据分步乘法计数原理,得到平面上的点的个数是6×6=36.(2)确定第
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 计数原理 课件
