2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.5.2　第二课时　直线与平面平行的性质（学案）

8.5.2 　 第二课时　直线与平面平行的性质 新课程标准解读 核心素养 1. 借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明 逻辑推理 2. 会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系 直观想象 　　 当直线 l ∥ 平面 α 时， l 与 α 没有公共点 . 此时，若 m ⊂ α ，则 l ∩ m ＝ ⌀. 这就是说， l 与 m 的位置关系是平行或异面 . 问题 　那么在什么情况下 l 与 m 平行呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点 　 直线与平面平行的性质定理 文字 语言 一条直线与一个平面 　平行　 ，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 　交线　 平行 符号 语言 a ∥ α ， 　 a ⊂ β ， α ∩ β ＝ b 　 ⇒ a ∥ b 图形 语言 提醒 　 （ 1 ）线面平行的性质定理的条件有三个： ① 直线 a 与平面 α 平行，即 a ∥ α ； ② 平面 α ， β 相交于一条直线，即 α ∩ β ＝ b ； ③ 直线 a 在平面 β 内，即 a ⊂ β. 三个条件缺一不可；（ 2 ）定理的作用： ① 线面平行 ⇒ 线线平行； ② 画一条直线与已知直线平行 . 1. 已知 a ， b 是两条相交直线， a ∥ α ，则 b 与 α 的位置关系是（　　） A. b 与 α 相交　　　　　　　 B. b ∥ α C. b ∥ α 或 b 与 α 相交 D. b ⊂ α 解析： C 　 由题意得 b ∥ α 和 b 与 α 相交都有可能 . 故选 C. 2. 如图，在三棱锥 S - ABC 中， E ， F 分别是 SB ， SC 上的点，且 EF ∥ 平面 ABC ，则（　　） A. EF 与 BC 相交 B. EF ∥ BC C. EF 与 BC 异面 D. 以上均有可能 解析： B 　 ∵ 平面 SBC ∩ 平面 ABC ＝ BC ， EF ⊂ 平面 SBC ，又 EF ∥ 平面 ABC ， ∴ EF ∥ BC . 故选 B. 3. 若 a ∥ α ， b ∥ α ，则两直线 a 与 b 的位置关系是 　　　　　 .   答案： 相交、平行或异面 题型一 直线与平面平行性质定理的应用 【例 1 】 　如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， AC 与 BD 交于点 O ， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH ，求证： AP ∥ GH . 证明 　 如图，连接 MO ， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ O 是 AC 的中点 . 又 ∵ M 是 PC 的中点， ∴ AP ∥ OM . 又 ∵ AP ⊄ 平面 BDM ， OM ⊂ 平面 BDM ， ∴ AP ∥ 平面 BDM . 又 ∵ AP ⊂ 平面 APGH ，平面 APGH ∩ 平面 BDM ＝ GH ， ∴ AP ∥ GH . 通性通法 1 . 利用线面平行性质定理解题的步骤 2. 运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行 . 一正四面体木块如图所示，点 P 是棱 VA 的中点 . （ 1 ）过点 P 将木块锯开，使截面平行于棱 VB 和 AC ，在木块的表面应该怎样画线？ （ 2 ）在平面 ABC 中所画的线与棱 AC 是什么位置关系？ 解： （ 1 ）取 VC 的中点 D ， BC 的中点 E ， AB 的中点 F ，分别连接 PD ， PF ， EF ， DE ， 则 PD ， PF ， EF ， DE 即为在木块表面应画的线 . （ 2 ）在平面 ABC 中所画的线 EF 与棱 AC 平行，证明如下： 因为 PF ∥ DE ，所以 P ， D ， E ， F 四点共面，且 AC ∥ 平面 PDEF ， 因为平面 ABC ∩ 平面 PDEF ＝ EF ， 所以 AC ∥ EF . 题型二 与线面平行性质定理有关的计算问题 【例 2 】 　如图，在四面体 A - BCD 中，已知 △ ABD 是边长为 2 的等边三角形， △ BCD 是以点 C 为直角顶点的等腰直角三角形， E 为线段 AB 的中点， G 为线段 BD 的中点， F 为线段 BD 上的点 . 若 AG ∥ 平面 CEF ，求线段 CF 的长 . 解　 因为 AG ∥ 平面 CEF ， AG ⊂ 平面 ABD ，平面 CEF ∩ 平面 ABD ＝ EF ， 所以 AG ∥ EF . 又因为 E 为线段 AB 的中点，所以 F 为线段 BG 的中点， 因为 G 为线段 BD 的中点，且 BD ＝ 2 ，所以 GF ＝ . 连接 CG （图略），因为 △ BCD 是以点 C 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 CG ＝ BD ＝ 1 ，且 CG ⊥ GF . 在 Rt△ CGF 中， CF ＝ ＝ . 通性通法 　　 利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点 （ 1 ）根据已知线面平行关系推出线线平行关系； （ 2 ）在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系； （ 3 ）利用所得关系计算求值 . 如图，在正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ 2 ，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若 EF ∥ 平面 AB 1 C ，求线段 EF 的长度 . 解： ∵ EF ∥ 平面 AB 1 C ， 又平面 ADC ∩ 平面 AB 1 C ＝ AC ， EF ⊂ 平面 ADC ， ∴ EF ∥ AC ， ∵ E 是 AD 的中点， ∴ F 为 CD 的中点 . ∴ EF ＝ AC ＝ × 2 ＝ . 题型三 线面平行关系的综合应用 【例 3 】 　如图所示的一块木料中，棱 BC 平行于平面 A'C' . （ 1 ）要经过平面 A'C' 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （ 2 ）所画的线与平面 AC 是什么位置关系？ 解　 （ 1 ）如图，在平面 A'C' 内，过点 P 作直线 EF ，使 EF ∥ B'C'