第一章 数 列
§3 等比数列3.2 等比数列的前n项和第1课时 等比数列的前n项和
1．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．1．通过等比数列的前n项和公式的应用，培养数学运算素养．2．能利用等比数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题，培养数学建模素养.
等比数列前n项和公式及推导 知识点 [提醒] 若题目中q为字母参数，不确定具体数值，则求等比数列的前n项和时，应分q＝1与q≠1两种情况进行讨论．
想一想：当q≠1时，等比数列{an}的前n项和Sn是n的函数，该函数的解析式有什么特点？
练一练：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(2)数列{an}的前n项和Sn＝aqn＋b(q≠1)，则数列{an}一定是等比数列．( )(3)等比数列的前n项和不可以为0.( )提示：(1) 当q＝1时，Sn＝na1.(2) 只有当a与b互为相反数时，数列{an}才是等比数列．(3) 例如1，－1,1，－1，….×××
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a2＝3,2a1＋a2＝4，则S6＝( )A．128 B．127 C．64 D．63D
3．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( )A
[解析] 因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，因为S3＝8，S6＝7，所以S6－S3＝－1，所以8，－1，S9－S6成等比数列，
题|型|探|究 (1)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2且S3＝2a3－2，则公比q＝( )(2)已知数列{an}为等比数列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，an＝125，求Sn.题型一与等比数列前n项和有关的基本运算典例 1B
[解析] (1)由S3＝2a3－2得a3－a2－a1－2＝0，又a1＝2，所以q2－q－2＝0，即(q－2)(q＋1)＝0，所以q＝2或q＝ －1(舍去)．(2)设该等比数列的公比为q，由a4－a2＝24，a2＋a3＝6，得a2q2－a2＝24，a2＋a2q＝6，解得a2＝1，q＝5，
所以an＝a1qn－1＝5n－2，令an＝125，解得n＝5，
[规律方法] 等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧．
(1)设{an}是正项等比数列，Sn为其前n项和，已知a1a5＝1，S3＝7，则S6＝( )(2)在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝( )A．6 B．7 C．8 D．9对点训练❶BC
[解析] (1)因为{an}是正项等比数列，所以an>0，q>0，
已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn＝3n－1＋k(n∈ N*)，则常数k＝________.题型二等比数列前n项和公式的函数特征典例 2[解析] 方法一：由已知得，a1＝S1＝1＋k，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6.
[规律方法] 等比数列前n项和公式的特征数列{an}是非常数数列的等比数列⇔Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0,1，n∈N*)．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝k·2n－3，则ak＝( )A．4 B．8 C．12 D．16[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k·2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2k－3＝k·21－1，解得k＝3，∴ak＝a3＝3·23－1＝12.故选C．对点训练❷C
(1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n；(2)一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．[分析] 运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.题型三等比数列前n项和的性质应用典例 3
[解析] (1)方法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.
方法二：由题意知，公比q≠－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，(2)设数列{an}的首项为a1，公比为q，奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，由题意得S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．∵数列{an}的项数为偶数，
[规律方法] 等比数列前n项和的性质(1){an}是公比不为－1的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
(1)设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3＝8，S6＝24，则a10＋a11＋a12＝( )A．32 B．64 C．72 D．216(2)一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．对点训练❸B[解析] (1)由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比数列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比为2，所以S9－S6＝32，S12－S9＝64，即a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
(2)方法一：设原等比数列的公比为q，项数为2n(n∈N＋)．由已知a1＝1，q≠1，有
方法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册 3.2等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和 课件
