第三讲圆的方程
课标要求考情分析1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想1.本讲复习时应联系生活实例，体会建模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法.2.加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力，这也是近几年高考的热点之一
定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)半径：r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0 圆心坐标： 半径：1.圆的定义与方程
2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
【名师点睛】(1)圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. (2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
考点一 求圆的方程1.圆心在 x 轴上，且过点(－1，－3)的圆与 y 轴相切，则该圆的方程是()A.x2＋y2＋10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0B.x2＋y2－10y＝0D.x2＋y2－10x＝0
解析：设圆心坐标为(t，0)，因为圆心在 x 轴上且圆与 y 轴相切，所以|t|即为半径，则根据题意解得 t＝－5，所以圆心坐标为(－5，0)，半径为 5，该圆的方程是(x＋5)2＋y2＝25，展开得x2＋y2＋10x＝0.故选C.答案：C
解析：从 2，3，7 中任取 2 个不同的素数 a，b 组成点(a，b)，其中 a＜b，则组成 A(2，3)，B(2，7)，C(3，7)，答案：D
3.(2022年全国甲卷文科)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________________.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5
【题后反思】求圆的方程的两种方法 (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线.(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
考点二 与圆有关的最值问题考向 1 斜率型、截距型、距离型的最值问题 通性通法：把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：
y－b(1)形如 m＝ 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值x－a问题； (2)形如 m＝ax＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.
图 7-3-1
图 7-3-2
(3)x2＋y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(图 7-3-3).图 7-3-3
考向 2 利用对称性求最值通性通法：求解形如|PM|＋|PN|(其中 M，N 均为动点)且与圆C 有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
答案：A
【考法全练】
图 D56
答案：B
2.(考向 2)已知 A(0，2)，点 P 在直线 x＋y＋2＝0 上，点 Q 在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
⊙与圆有关的轨迹问题[例 3](2021 年衡水中学调研)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程；(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程.
解：(1)设 C(x，y)，因为 A，B，C 三点不共线，所以 y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
【题后反思】求与圆有关的轨迹方程的方法
【高分训练】
2.已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1 的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
2024届一轮复习人教A版 第七章平面解析几何第三讲圆的方程 (课件)
