2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（全解析版）

2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．若 ，则 　　 A ． 0 B ． 1 C ． D ． 2 2 ．设集合 ， 且 , 则 　 A ． B ． C ． 2 D ． 4 3 ．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．已知 为抛物线 上一点，点 到 的焦点的距离为 12 ，到 轴的距离为 9 ，则 　　 A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ． 9 5 ．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 和温度 （单位： 的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 ， ， 2 ， ， 得到下面的散点图： 由此散点图，在 至 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．函数 的图象在点 ， （ 1 ） 处的切线方程为 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．设函数 在 ， 的图象大致如图，则 的最小正周期为 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ． 的展开式中 的系数为 　　 A ． 5 B ． 10 C ． 15 D ． 20 9 ．已知 ，且 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．已知 ， ， 为球 的球面上的三个点， 为 的外接圆．若 的面积为 ， ，则球 的表面积为 　　 A ． B ． C ． D ． 11 ．已知 ，直线 ， 为 上的动点．过点 作 的切线 ， ，切点为 ， ，当 最小时，直线 的方程为 　　 A ． B ． C ． D ． 12 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．若 ， 满足约束条件 , 则 的最大值为 　　 ． 14 ．设 ， 为单位向量，且 ，则 　　 ． 15 ．已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上的点，且 垂直于 轴．若 的斜率为 3 ，则 的离心率为 　　 ． 16 ．如图，在三棱锥 的平面展开图中， ， ， ， ， ，则 　　 ． 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。 17 ．（ 12 分）设 是公比不为 1 的等比数列， 为 ， 的等差中项． （ 1 ）求 的公比； （ 2 ）若 ，求数列 的前 项和． 18 ．（ 12 分）如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ． （ 1 ）证明： 平面 ； （ 2 ）求二面角 的余弦值． 19 ．（ 12 分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 ． （ 1 ）求甲连胜四场的概率； （ 2 ）求需要进行第五场比赛的概率； （ 3 ）求丙最终获胜的概率． 20 ．（ 12 分）已知 ， 分别为椭圆 的左、右顶点， 为 的上顶点， ． 为直线 上的动点， 与 的另一交点为 ， 与 的另一交点为 ． （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）证明：直线 过定点． 21 ．（ 12 分）已知函数 ． （ 1 ）当 时，讨论 的单调性； （ 2 ）当 时， ，求 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ] （ 10 分） 22 ．（ 10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数）．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （ 1 ）当 时， 是什么曲线？ （ 2 ）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ] （ 10 分） 23 ．已知函数 ． （ 1 ）画出 的图象； （ 2 ）求不等式 的解集． 2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 参考答案与试题解析 一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．若 ，则 　　 A ． 0 B ． 1 C ． D ． 2 【思路分析】由复数的乘方和加减运算，化简 ，再由复数的模的定义，计算可得所求值． 【解析】：若 ，则 ，则 ，故选： ． 【总结与归纳】本题考查复数的运算，考查复数的模的求法，主要考查化简运算能力，是一道基础题． 2 ．设集合 ， ，且 ，则 　　 A ． B ． C ． 2 D ． 4 【思路分析】由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合 ， ，再由交集的定义，可得 的方程，解方程可得 ． 【解析】：集合 ， ， 由 ，可得 ， 则 ． 故选： ． 【总结与归纳】本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力，是一道基础题． 3 ．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹