2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.5向量的数量积1.5.1数量积的定义及计算 课件

1.5.1　数量积的定义及计算 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教材要点要点一　数量积的定义(1)设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝______________为a与b的数量积．(2)a·b＝0⇔________．状元随笔　(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角〈〉决定：当〈〉是锐角时，数量积为正；当〈〉是钝角时，数量积为负；当〈〉是直角时，数量积等于零． a||b|cos〈a，b〉a⊥b 要点二　投影(1)设a，b是两个非零向量，这两个向量的夹角为α，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量；投影向量的长度|＝|||cos α|称为投影长；________称为在上的投影．(2)a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影________的乘积．状元随笔　(1)若是两个非零向量，两个向量的夹角为〈〉在方向上的投影||cos α的计算公式为||cos α＝.(2)向量在向量方向上的投影||cos α可以为正，可以为负，也可以为0. ||cos α |b|cos α|a|cos α 要点三　数量积的运算律设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则(1)交换律：a·b＝________；(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：(a＋b)·c＝________．状元随笔　(1)向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且＝，但得不到＝.(2)() ≠()，因为是数量积，是实数，不是向量，所以() 与向量共线，()与向量共线，因此，() ＝()在一般情况下不成立．(3)推论：( ±)2＝±2. b·aa·c＋b·c 基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两向量的数量积仍是一个向量．(　　)(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ＞0⇔a·b＞0.(　　)(3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　)×√×× 2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝(　　)A． B．C．1 D．－ 答案：A解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×＝.  3．若|a|＝1，|b|＝2，向量a与向量b的夹角为，则向量a在向量b上的投影向量为(　　)A．－b B．bC．－b D．b 答案：D解析：a在b上的投影向量是|a|cos θ·＝1×＝b.  4．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，则a与b的夹角为________．  解析：cos 〈a，b〉＝＝＝－，∴夹角为.  题型探究·课堂解透 题型 1　向量数量积的计算角度1　向量数量积的计算例1　已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． 解析：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 120°＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34. 方法归纳求向量的数量积的方法求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量的数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，使问题转化为两个单一向量的数量积，再用数量积公式计算．  角度2　几何图形中向量的数量积的计算例2　在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　)A． B．C．－ D． 答案：C解析：＝＝＝1，·＝·cos (180°－60°)＝3×1×＝－.  方法归纳解决几何图形中向量的数量积运算问题的思路方法(1)解决几何图形中向量的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．(2)向量的夹角是由向量的方向确定的，在△ABC中，注意与与与的夹角不是∠C，∠A，∠B，而是它们的补角．(3)设D是△ABC的边BC的中点，则＝)．  跟踪训练1　(1)已知向量a与b的夹角θ＝120°，|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝(　　)A．－6 B．－6C．6 D．6 解析：根据平面向量数量积的定义可得a·b＝|a|·|b|·cos 120°＝3×4×(－)＝－6. 答案：B (2)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于________． 2解析：·＝()·＝||2＋·＝||2＝||2＝2.  题型 2　向量数量积的几何意义例3　如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．(1)求在上的投影向量；(2)求在上的投影向量．  解析：(1)如图，连接AD.因为D为BC的中点，AB＝AC，所以AD⊥BC.设与同方向的单位向量为e，又BD＝DC＝，且与的夹角为150°，所以在上的投影向量||cos 150°e＝－e＝－＝－＝.(2)如图，延长CB至点M，使BM＝CD，过点M作AB延长线的垂线MN，并交AB的延长线于点N，易知＝，BN＝.在上的投影向量即为在上的投影向量．又MN⊥BN，BN＝与的夹角为150°，故在上的投影向量为＝－，即在上的投影向量为－.  方法归纳求投影向量的方法(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量．(2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|