2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 5.3.2　函数的极值与最大(小)值 第2课时　函数的最大(小)值与导数 学案

5 ． 3.2 　函数的极值与最大 ( 小 ) 值 第 2 课时　函数的最大 ( 小 ) 值与导数 学习目标 1. 理解函数的最值的概念． ( 难点 ) 2. 了解函数的最值与极值的区别与联系． ( 易混点 ) 3. 会用导数求在给定区间上函数的最值． ( 重点 ) 知识脉络 1 ． 函数的最大 ( 小 ) 值的存在性 一般地 ， 如果在区间 [ a ， b ] 上函数 y ＝ f ( x ) 的图象是一条 连续不断 的曲线 ， 那么它必有最大值与最小值． 思考 1 　函数的极值与最值的区别是什么？ 提示　 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 ， 最大值必须是整个区间内所有函数值 中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值． 思考 2 　求最大值时为什么给定函数的区间必须是闭区间？ 提示　 因为不能保证 f ( x ) 在开区间上有最大值 ( 或最小值 )( 最值有可能在区间端点处取得 ) ， 所以必须是闭区间． 2 ． 求函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上的最值的步骤． (1) 求函数 y ＝ f ( x ) 在区间 ( a ， b ) 上的 极值 ； (2) 将函数 y ＝ f ( x ) 的 各极值 与 端点 处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较 ， 其中最大的一个是 最大值 ， 最小的一个是 最小值 ． 判断正误 ( 正确的打 “√” ， 错误的打 “×” ) (1) 函数 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的最大值和最小值 ， 一定在区间端点处取得． ( 　　 ) (2) 开区间上的单调连续函数无最值． ( 　　 ) (3) 在定义域内 ， 若函数有最值与极值 ， 则极大 ( 小 ) 值就是最大 ( 小 ) 值． ( 　　 ) (4) 若函数 y ＝ f ( x ) 在区 间 [ a ， b ] 上连续 ， 则一定有最值；若可导 ， 则最值点为极值点或区间端点． ( 　　 ) 答案　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) √ 对函数最值的理解 (1) 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 ， 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 ， 函数的极值可以有多个 ， 但最值只能有一个；极值只能在区间内取得 ， 最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值 ， 有最值的未必有极值；极值有可能成为最值 ， 最值只要不 在端点必定是极值． (2) 当连续函数 f ( x ) 在开区间 ( a ， b ) 内只有一个导数为零的点时 ， 若在这一点处 f ( x ) 有极大值 ( 或极小值 ) ， 则可以判定 f ( x ) 在该点处取得最大值 ( 或最小值 ) ， 这里 ( a ， b ) 也可以是无穷区间． 类型一 求函数的最值 数学运算 角度一　不含参数的函数最值 【例 1 】　 　求下列各函数的最值． (1) f ( x ) ＝ 3 x 3 － 9 x ＋ 5 ， x ∈ [ － 2 ， 2 ] ； (2) f ( x ) ＝ sin 2 x － x ， x ∈ . 解　 (1) f ′( x ) ＝ 9 x 2 － 9 ＝ 9( x ＋ 1)( x － 1) ， 令 f ′( x ) ＝ 0 得 x ＝－ 1 或 x ＝ 1. 当 x 变化时 ， f ′ ( x ) ， f ( x ) 变化状态如下表： x － 2 ( － 2 ， － 1) － 1 ( － 1 ， 1 ) 1 (1 ， 2 ) 2 f ′( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) － 1  11  － 1  11 　　 从表中可以看出 ， 当 x ＝－ 2 时或 x ＝ 1 时 ， 函数 f ( x ) 取得最小值－ 1. 当 x ＝－ 1 或 x ＝ 2 时 ， 函数 f ( x ) 取得最大值 11. (2) f ′( x ) ＝ 2 cos 2 x － 1 ， 令 f ′( x ) ＝ 0 ， 得 cos 2 x ＝ ， 又 ∵ x ∈ ， ∴ 2 x ∈ [ － π ， π ]. ∴ 2 x ＝ ± . ∴ x ＝ ± . ∴ 函数 f ( x ) 在 上的两个极值分别为 f ＝ － ， f ＝－ ＋ . 又 f ＝－ ， f ＝ . 比较以上函数值可得 f ( x ) max ＝ ， f ( x ) min ＝－ ． 角度二　含参数的函数最值 【例 2 】　 已知函数 f ( x ) ＝ e x － ax ， 其中 a ∈ R ， e 为自然对数的底数． (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) 当 a ＞ 0 时 ， 求函数 f ( x ) 在 [0 ， a ] 上的最大值． 解　 f ( x ) 的定义域是 R ， (1) f ′( x ) ＝ e x － a ， ① a ＞ 0 时 ， 令 f ′( x ) ＞ 0 ， 解得： x ＞ ln a ， 令 f ′( x ) ＜ 0 ， 解得： x ＜ ln a ， 故 f ( x ) 在 ( － ∞ ， ln a ) 递减 ， 在 ( ln a ， ＋ ∞ ) 递增； ② a ≤ 0 时 ， f ′ ( x ) ≥ 0 ， f ( x ) 在 R 递增． (2) 由 (1) a ＞ 0 时 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ， ln a ) 递减 ， 在 ( ln a ， ＋ ∞ ) 递增； ① ln a ≤ 0 即 0 ＜ a ≤ 1 时 ， f ( x ) 在 [ 0 ， a ] 递增 ， f ( x ) max ＝ f ( a ) ＝ e a － a 2 ， ② 0 ＜ ln a ＜ a 即 1 ＜ a ＜ e a 时 ， f ( x ) 在 [0 ， ln a ) 递减 ， 在 ( ln a ， a ] 递增 ， 故 f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 1 或 f ( a ) ＝ e a － a 2 ， ③ ln a ≥ a 即 a ≥ e a 时 ， f ( x ) 在 [0 ， a ] 递减 ， f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 1. 已知函数 f ( x ) ＝ ( x － k ) e x . (1) 求 f ( x ) 的单调区间； (2) 求 f ( x ) 在区间 [0 ， 1 ] 上的最小值． 解　 (1) f ′( x ) ＝ ( x － k ＋ 1) e x . 令 f ′( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝ k － 1. 当 x 变化时 ， f ( x ) 与 f ′( x ) 的情况如下表： x ( － ∞ ， k － 1) k － 1 ( k － 1 ， ＋ ∞ ) f ′( x ) — 0 ＋ f ( x ) 单调 递减  － e k － 1 单调 递增  所以 ， f ( x ) 的