2022年北京市高考数学试卷（全解析版）

2022 年北京市高考数学试卷 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 ．已知全集 ，集合 ，则 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 2 ．若复数 满足 ，则 　　 A ． 1 B ． 5 C ． 7 D ． 25 3 ．若直线 是圆 的一条对称轴，则 　　 A ． B ． C ． 1 D ． 4 ．已知函数 ，则对任意实数 ，有 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．已知函数 ，则 　　 A ． 在 ， 上单调递减 B ． 在 ， 上单调递增 C ． 在 上单调递减 D ． 在 ， 上单调递增 6 ．设 是公差不为 0 的无穷等差数列，则 “ 为递增数列 ” 是 “ 存在正整数 ，当 时， ” 的 　　 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．在北京冬奥会上，国家速滑馆 “ 冰丝带 ” 使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度， 单位是 ； 表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是 　　 A ．当 ， 时，二氧化碳处于液态 B ．当 ， 时，二氧化碳处于气态 C ．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态 D ．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态 8 ．若 ，则 　　 A ． 40 B ． 41 C ． D ． 9 ．已知正三棱锥 的六条棱长均为 6 ， 是 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则 表示的区域的面积为 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．在 中， ， ， ． 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11 ．（ 5 分）函数 的定义域是 　　 ． 12 ．（ 5 分）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 　　 ． 13 ．（ 5 分）若函数 的一个零点为 ，则 　　 ； 　　 ． 14 ．（ 5 分）设函数 若 存在最小值，则 的一个取值为 　　 ； 的最大值为 　　 ． 15 ．（ 5 分）已知数列 的各项均为正数，其前 项和 满足 ， 2 ， ．给出下列四个结论： ① 的第 2 项小于 3 ； ② 为等比数列； ③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项． 其中所有正确结论的序号是 　　 ． 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16 ．（ 13 分）在 中， ． （ Ⅰ ）求 ； （ Ⅱ ）若 ，且 的面积为 ，求 的周长． 17 ．（ 14 分）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点． （ Ⅰ ）求证： 平面 ； （ Ⅱ ）再从条件 ① 、条件 ② 这两个条件中选择一个作为已知，求直线 与平面 所成角的正弦值． 条件 ① ： ； 条件 ② ： ． 注：如果选择条件 ① 和条件 ② 分别解答，按第一个解答计分． 18 ．（ 13 分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 以上（含 的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： 甲： 9.80 ， 9.70 ， 9.55 ， 9.54 ， 9.48 ， 9.42 ， 9.40 ， 9.35 ， 9.30 ， 9.25 ； 乙： 9.78 ， 9.56 ， 9.51 ， 9.36 ， 9.32 ， 9.23 ； 丙： 9.85 ， 9.65 ， 9.20 ， 9.16 ． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （ Ⅰ ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （ Ⅱ ）设 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 的数学期望 ； （ Ⅲ ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 19 ．（ 15 分）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ． （ Ⅰ ）求椭圆 的方程； （ Ⅱ ）过点 作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别与 轴交于点 ， ．当 时，求 的值． 20 ．（ 15 分）已知函数 ． （ Ⅰ ）求曲线 在点 ， 处的切线方程； （ Ⅱ ）设 ，讨论函数 在 ， 上的单调性； （ Ⅲ ）证明：对任意的 ， ，有 ． 21 ．（ 15 分）已知 ， ， ， 为有穷整数数列．给定正整数 ，若对任意的 ， 2 ， ， ，在 中存在 ， ， ， ， ，使得 ，则称 为 连续可表数列． （ Ⅰ ）判断 ， 1 ， 4 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由； （ Ⅱ ）若 ， ， ， 为 连续可表数列，求证： 的最小值为 4 ； （ Ⅲ ）若 ， ， ， 为 连续可表数列，且 ，求证： ． ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2022 年北京市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 ．已知全集 ，集合 ，则 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 【思路分析】由补集的定义直接求解即可． 【解析】因为全集 ，集合 ， 所以 或 ， ． 故选： ． 【试题评价】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题． 2 ．若复数 满足 ，则 　　 A ． 1 B ． 5 C ． 7 D ． 25 【思路分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解． 【解析】由 ，得