2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.1 平面向量基本定理 学案

6 ． 3.1 　平面向量基本定理 课程标准 了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量． 新知初探 · 课前预习 —— 突出基础性 教 材 要 点 要点　平面向量基本定理 ❶ 　 (1) 定理：如果 e 1 ， e 2 是同一平面内的两个 ________ 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ， ________________ 一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使 a ＝ ________ ． (2) 基底：不共线的向量 e 1 ， e 2 叫做表示这一平面内 ________ 的一个基底． 助 学 批 注 批注 ❶ 　 (1) ， 是同一平面内的两个不共线的向量， ， 的选取不唯一，即一个平面可以有多个基底． (2) 平面内的任一向量 a→ 都可以沿基底进行分解． (3) 基底 ， 确定后，实数 λ 1 、 λ 2 是唯一确定的． 夯 实 双 基 1 ．判断正误 ( 正确的画 “√” ，错误的画 “×”) (1) 平面内的任意两个向量都可以作为一个基底． ( 　　 ) (2) 平面向量的基底确定后，平面内的任何一个向量都能用这个基底唯一表示． ( 　　 ) (3) 若 { e 1 ， e 2 } 是平面 α 内所有向量的一个基底，则 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 ( λ 1 ， λ 2 ∈ R ) 不一定在平面 α 内． ( 　　 ) (4) 基底向量可以是零向量． ( 　　 ) 2 ． ( 多选 ) 设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，下列向量组是这个平行四边形所在平面的一个基底的是 ( 　　 ) A ． 与 B ． 与 C ． 与 D ． 与 3 ．已知 AD 是 △ ABC 的中线， ＝ a ， ＝ b ，以 a ， b 为基底表示 ， 则 ＝ ( 　　 ) A ． ( a － b ) B ． 2 b － a C ． ( b － a ) D ． 2 b ＋ a 4 ．在正方形 ABCD 中， E 是 DC 边上的中点，且 ＝ a ， ＝ b ，则 ＝ ________ ． 题型探究 · 课堂解透 —— 强化创新性 题型 1 　平面向量基本定理的理解 例 1 　 ( 多选 ) [2022· 广东韶关实验中学高一期中 ] 已知向量 a 、 b 不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一个基底的有 ( 　　 ) A ． B ． C ． D ． 题后师说 1 ． 两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． 2 ．一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．设向量 a 与 b 是平面内两个不共线的向量，若 x 1 a ＋ y 1 b ＝ x 2 a ＋ y 2 b ，则 提醒： 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 　 巩固训练 1 　 如图，点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，其中可作为基底的一组向量是 ( 　　 ) A ． B ． C ． D ． 题型 2 　用基底表示向量 例 2 　如图，点 E 、 D 分 别是△ ABC 中 AC ( 靠近 C ) 、 BC ( 靠近 B ) 边上的三等分点，已知 ＝ a ， ＝ b ，求： (1) 用 a 与 b 表示 ； (2) 用 a 与 b 表示 . 题后师说 用基底表示向量的两种基本方法 巩固训练 2 　 (1) [2022· 重庆市实验中学高一期末 ] 在 △ ABC 中， ＝ c ， ＝ b ，若点 D 满足 2 ＝ ， 以 为基底，则 ＝ ( 　　 ) A ． b ＋ c B ． c － b C ． b － c D ． b ＋ c (2) [2022· 福建三明高一期末 ] 如图，平行四边形 ABCD 中， E 是 AD 的中点， F 在线段 BE 上，且 BF ＝ 2 FE . 记 ＝ a ， ＝ b ，则 ＝ ( 　　 ) A ． a － b B ．－ a ＋ b C ．－ a － b D ． a － b 题型 3 　利用平面向量基本定理求参数 例 3 　 [2022· 山东枣庄高一期中 ] 已知点 G 是 △ ABC 的重心，点 P 是 △ GBC 内一点 ( 不包括边界 ) ，设 ＝ a ， ＝ b . (1) 试用 a ， b 表示 ； (2) 若 ＝ λ a ＋ μ b ，求 λ ＋ μ 的取值范围． 题后师说 1 ． 利用平面向量基本定理求参数值的基本思路是利用定理的唯一性，对某一向量用基底表示两 次然后利用系数相等列方程 ( 组 ) 求解，即对于基底 { e 1 ， e 2 } ，若 a ＝ x e 1 ＋ y e 2 ，且 a ＝ m e 1 ＋ n e 2 ( x ， y ， m ， n ∈ R ) ，则有 2 ．充分利用平面几何知识对图中的有关点进行精确定位，往往可使问题更便于解决． 巩固训练 3 　 (1) [2022· 广东揭阳高一期末 ] 已知在 △ ABC 中，点 M 为 AC 上的点，且 ＝ ， 若 ＝ λ ＋ μ ( λ ， μ ∈ R ) ，则 λ － μ ＝ ( 　　 ) A ．－ B ． 0 C ． D ． 1 (2)△ ABC 中， D 是 BC 边上靠近 B 的四等分点， ＝ λ ＋ μ ， 则 λ ＋ μ ＝ ________ ． 6 ． 3.1 　平面向量基本定理 新知初探 · 课前预习 [ 教材要点 ] 要点 (1) 不共线　有且只有　 λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 　 (2) 所有向量 [ 夯实双基 ] 1 ． 答案： (1)× 　 (2)√ 　 (3)× 　 (4)× 2 ． 解析： A 中： 与 不共线； B 中： ＝－ ， 则 与 共线； C 中： 与 不共线； D 中： ＝ － ， 则 与 共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一个基底，故 AC 满足题意． 答案： AC 3 ． 解析： 如图， AD 是 △ ABC 的中线，则 D 为线段 BC 的中点，从而 ＝ ) ， 则 ＝ 2 ＝ 2 b － a . 答案： B 4 ． 解析： ＝ ＝ ＝ b － a . 答案： b － a 题型探