第七章2.1 相关系数 2.2 成对数据的线性相关性分析
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课程标准1.结合实例,了解样本相关系数的统计定义.2.能通过样本相关系数判断多组成对数据的相关性.3.了解回归分析的基本思想方法和初步应用.
基础落实·必备知识全过关
知识点 样本相关系数 是判断多组成对数据相关性强弱的量一般地,设随机变量X,Y的n组观测值分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),记样本(线性)相关系数
名师点睛1.为了计算方便,样本相关系数还可以写成如下形式:2.样本相关系数r的性质显然,样本(线性)相关系数r的取值范围为[-1,1].|r|值越接近1,随机变量之间的线性相关程度越强;|r|值越接近0,随机变量之间的线性相关程度越弱.当r>0时,两个随机变量的值总体上变化趋势相同,此时称两个随机变量正相关;当r<0时,两个随机变量的值总体上变化趋势相反,此时称两个随机变量负相关;当r=0时,此时称两个随机变量线性不相关.
过关自诊1.[人教B版教材习题]已知变量X和Y满足关系Y=-0.1X+1,变量Y与Z正相关.下列结论中正确的是( )A.X与Y负相关,X与Z负相关B.X与Y正相关,X与Z正相关C.X与Y正相关,X与Z负相关D.X与Y负相关,X与Z正相关A 解析 X与Y负相关,X与Z负相关.
2.[人教B版教材习题]在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y= x+1上,求出样本相关系数.提示 因为所有样本点都落在一条直线上,所以样本相关系数|r|=1,又线性回归方程为Y= X+1,说明X与Y正相关,即r>0,所以r=1.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 成对数据线性相关性的判断【例1】 (1)已知某次考试之后,班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本,他们的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395给出散点图如图:
根据以上信息,判断下列结论:①根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系;②根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系;③从全班随机抽取甲、乙两名同学,若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.其中正确结论的个数为 . 1 解析 由题中散点图知,各点都分布在一条直线附近,故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系,但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系,故①正确,②错误;若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高,故③错误.综上,正确结论的个数为1.
(2)下面是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重列表: 编号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053判断所给的两个变量之间是否存在相关关系.
解 (方法一)根据实际生活的经验可知,人的身高和体重之间存在相关关系.(方法二)观察表格中的数据可知,人的体重随着身高的增高而增长,因此人的身高和体重之间存在相关关系.(方法三)以x轴表示身高,以y轴表示体重,得到相应的散点图如图所示.我们会发现,随着身高的增高,体重基本上呈增长的趋势,所以体重与身高之间存在相关关系,并且是正相关.
规律方法
变式训练1四名同学根据各自的样本数据研究变量X,Y之间的相关关系,并求得线性回归方程,分别得到以下四个结论:①Y与X负相关,且Y=2.347X-6.423;②Y与X负相关,且Y=-3.476X+5.648;③Y与X正相关,且Y=5.437X+8.493;④Y与X正相关,且Y=-4.326X-4.578.其中一定不正确的结论的序号是( )A.①② B.②③C.③④ D.①④D
探究点二 线性回归分析【例2】 随着网络的发展,网上购物越来越受到人们的喜爱,各大购物网站为增加收入,促销策略越来越多样化,促销费用也不断增加,下表是某购物网站2022年1~8月促销费用(单位:万元)和产品销量(单位:万件)的具体数据:月份12345678促销费用X/万元2361013211518产品销量Y/万件11233.5544.5(1)请根据数据绘制散点图,并用相关系数r对线性回归模型Y与X的关系加以说明(系数精确到0.001);
(2)建立Y关于X的线性回归方程 (系数精确到0.001),如果该公司计划在9月份实现产品销量不低于6万件,预测至少需要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01).
解 (1)根据数据绘制散点图如下, 从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且呈上升趋势,所以可用线性回归模型拟合Y与X的关系;
规律方法 根据已知数据求得线性回归方程后,可以利用相关系数和临界值比较,进行相关性检验.
变式训练2为分析肥胖程度对总胆固醇与空腹血糖的影响,在肥胖人群中随机抽出8人,他们的肥胖指数BMI值、总胆固醇TC指标(单位:mmol/L)、空腹血糖GLU指标值(单位:mmol/L)如表所示.人员编号12345678BMI值X2527303233354042TC指标值Y5.35.45.55.65.76.56.97.1GLU指标值Z6.77.27.38.08.18.69.09.1(1)用变量Y与X,Z与X的相关系数,分别说明TC指标值与BMI值、GLU指标值与BMI值的相关程度;(2)求Y关于X的线性回归方程,已知TC指标值超过5.2
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 2.1相关系数2.2成对数据的线性相关性分析 课件
