2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第四章 4.4.2　第2课时　对数函数的图象和性质(二) 学案

第 2 课时　对数函数的图象和性质 ( 二 ) 学习目标 　 1 . 会处理与对数函数相关的复合函数的性质 . 2 . 会处理与对数函数有关的综合问题 . 教材知识梳理 一 对数型复合函数的单调性 复合函数 y = f [ g ( x )] 是由 y = f ( x ) 与 y = g ( x ) 复合而成的 , 若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性相同 , 则其复合函数 f [ g ( x )] 为 增函数 ; 若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性相反 , 则其复合函数 f [ g ( x )] 为 减函数 . 对于对数型复合函数 y =log a f ( x ) 来说 , 函数 y =log a f ( x ) 可看成是 y =log a u 与 u = f ( x ) 两个简单函数复合而成的 , 其单调性可以通过复合函数单调性的 “ 同增异减 ” 法则判断 . 另外 , 在求复合函数的单调区间时 , 首先要考虑函数的定义域 . 二 对数型复合函数的值域 对于形如 y =log a f ( x )( a >0, 且 a ≠1) 的复合函数 , 其值域的求解步骤如下 : (1) 分解成 y =log a u , u = f ( x ) 两个函数 ; (2) 解 f ( x )>0, 求出函数的定义域 ; (3) 求 u 的取值范围 ; (4) 利用 y =log a u 的单调性求解 . 【质疑辨析】 ( 正确的打 “√”, 错误的打 “×”) (1) 函数 y =lg x 2 的定义域为 R . ( 　 × 　 ) (2) 函数 y =lg( x +1) 的值域为 R . ( 　 √ 　 ) (3) 函数 y =log 2 ( x 2 -1) 在区间 (0,+∞) 上单调递增 . ( 　 × 　 ) (4) 函数 y =lg( x 2 +1) 是偶函数 . ( 　 √ 　 ) 教材拓展延伸 【例 1 】求下列函数的定义域、值域和单调区间 : (1) y =log 2 ( x 2 +4); (2) y =lo (3+2 x - x 2 ) . 【详解】 (1) 由于 x 2 +4>0 恒成立 , 因此 y =log 2 ( x 2 +4) 的定义域为 R . 因为 x 2 +4≥4, 所以 log 2 ( x 2 +4)≥log 2 4=2 . 所以 y =log 2 ( x 2 +4) 的值域为 [2,+∞) . 令 u = x 2 +4, 则 y =log 2 u , 由于 u = x 2 +4 在区间 (-∞,0) 上递减 , 在区间 (0,+∞) 上递增 , 而 y =log 2 u 在区间 (0,+∞) 上递增 , 因此 y =log 2 ( x 2 +4) 在区间 (-∞,0) 上递减 , 在区间 (0,+∞) 上递增 . (2) 由 3+2 x - x 2 >0 解得 -1< x <3, 于是 y =lo (3+2 x - x 2 ) 的定义域为 (-1,3) . 设 u =3+2 x - x 2 , 则 0< u ≤4 . 又 y =lo u 在 (0,+∞) 上是减函数 , 所以 y =lo (3+2 x - x 2 ) 的值域为 [-2,+∞) . 由于 u =3+2 x - x 2 在区间 (-1,1) 上递增 ,(1,3) 上递减 , 而 y =lo u 在 (0,+∞) 上递减 , 因此 y =lo (3+2 x - x 2 ) 在区间 (-1,1) 上递减 , 在区间 (1,3) 上递增 . 【例 2 】 (1) 已知函数 f ( x )=lg( x 2 -4 x -5) 在 ( a ,+∞) 上单调递增 , 则 a 的取值范围是 ( 　　 ) A . (2,+∞) B . [2,+∞) C . (5,+∞) D . [5,+∞) (2) 已知 y =log a (2- ax ) 在 [0,1] 上是关于 x 的减函数 , 则 a 的取值范围是 　　　　　　 .  【答案】 (1)D 　 (2)(1,2) 【详解】 (1) 由 x 2 -4 x -5>0 得 x >5 或 x <-1, 所以 f ( x ) 的定义域为 (-∞,-1) ∪ (5,+∞) . 因为 y = x 2 -4 x -5 在 (5,+∞) 上单调递增 , 所以 f ( x )=lg( x 2 -4 x -5) 在 (5,+∞) 上单调递增 . 所以 a ≥5 . (2) 由题意知 , a >0 且 a ≠1, 故 y =2- ax 为减函数 , 又 y =log a (2- ax ) 在 [0,1] 上是关于 x 的减函数 , 故 y =log a x 为增函数 , 故 a >1 . 又定义域为 [0,1], 故 2- a >0 ⇒ a <2 . 所以 a ∈ (1,2) . 【归纳总结】 与对数函数相关的复合函数 y =log a f ( x )( a >0, 且 a ≠1) 的性质研究 : (1) 定义域 : 抓住真数的取值范围 , 令 f ( x )>0, 解出 x 的取值范围即可 . (2) 值域 : 可以采用换元法 , 令 f ( x )= u , 先求出 u 的取值范围 , 接着将原函数转化为求 y =log a u , 结合 u 的取值范围进行处理即可 . (3) 单调性 : 可以利用复合函数的同增异减法则处理 , 即令 f ( x )= u , 则 y =log a u , 研究单调性时特别要注意关注原函数的定义域 . 如果定义域为 D. 项目 y =log a f ( x ) 的增区间 y =log a f ( x ) 的减区间 a >1 定义域内 f ( x ) 的单调增区间 定义域内 f ( x ) 的单调减区间 0< a <1 定义域内 f ( x ) 的单调减区间 定义域内 f ( x ) 的单调增区间 【例 3 】 ( 多选题 ) 已知函数 f ( x )=ln x +ln(2- x ), 则 ( 　　 ) A .f ( x ) 在 (0,2) 上单调递增 B .f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 , 在 (1,2) 上单调递减 C .y = f ( x ) 的图象关于直线 x =1 对称 D .y = f ( x ) 的图象关于点 (1,0) 对称 【答案】 BC 【详解】函数的定义域满足 , 即 0< x <2, 即函数的定义域是 { x |0< x <2} . 因为 f ( x )=ln x (2- x )=ln(- x 2 +2 x ), 设 t =- x 2 +2 x =-( x -1) 2 +1, 则函数在 (0,1) 上递增 , 在 (1,2) 上递减 , 又函数 y =ln t 递增 , 由复合函数单调性可知函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增 , 在 (1,2) 上单调递减 , 故 A 错误 ,B 正确 ; 因为 f (1+ x )=ln(1+ x )+ln(1- x ), f (1- x )=ln(1- x )+ln(1+ x ), 所以 f (1- x )= f (1+ x ), 即函数 y = f ( x ) 图象关于直线 x =1 对称 , 故 C 正确 ; 又 f =ln +ln 2- =ln , f =ln +ln 2- =ln , 所以 f = f =ln , 所