2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.2.2　复数的乘、除运算（学案）

7.2.2 　 复数的乘、除运算 新课程标准解读 核心素养 1. 掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学抽象 2. 理解复数乘法的运算律 数学运算 　　 我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即 a ， b ， c ∈ R 时，有（ a ＋ b ） c ＝ ac ＋ bc ，而且，实数的正整数次幂满足 a m a n ＝ a m ＋ n ，（ a m ） n ＝ a mn ，（ ab ） n ＝ a n b n ，其中 m ， n 均为正整数 . 问题 　 复数的运算满足上述的运算律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 复数的乘法 1 . 复数的乘法法则 设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i （ a ， b ， c ， d ∈ R ），则 z 1 z 2 ＝ （ a ＋ b i ）（ c ＋ d i ） ＝ 　（ ac － bd ） ＋ （ ad ＋ bc ） i 　 . 2 . 复数乘法的运算律 对于任意 z 1 ， z 2 ， z 3 ∈ C ，有 交换律 z 1 z 2 ＝ 　 z 2 z 1 　 结合律 （ z 1 z 2 ） z 3 ＝ 　 z 1 （ z 2 z 3 ）　 分配律 z 1 （ z 2 ＋ z 3 ） ＝ 　 z 1 z 2 ＋ z 1 z 3 　 1. 复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示： 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i 2 换成 － 1 ，再把实部、虚部分别合并 . 2. 多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？ 提示： 仍然成立，乘法公式也适用 . 知识点二　复数的除法 复数代数形式的除法法则 （ a ＋ b i ） ÷ （ c ＋ d i ） ＝ ＝ 　 ＋ i 　 （ a ， b ， c ， d ∈ R ，且 c ＋ d i ≠ 0 ） . 提醒 　 对复数除法的两点说明 ： ① 实数化，分子、分母同乘以分母的共轭复数 c － d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母 “ 有理化 ” 类似； ② 代数式，注意最后结果要将实部、虚部分开 . 1. 已知 i 为虚数单位，复数 z ＝ （ 3 － i ）（ 2 ＋ i ），则 z 的虚部为（ 　　 ） A.i B.1 C.7i D.7 解析： B 　 ∵ z ＝ （ 3 － i ）（ 2 ＋ i ） ＝ 7 ＋ i ， ∴ z 的虚部为 1. 故选 B. 2. 复数 z ＝ － i 在复平面内对应的点位于（ 　　 ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： C 　 因为 z ＝ － i ＝ － i ＝ － i ＝ － － i ，所以 z 在复平面内对应的点为 （ － ， － ） ，位于第三象限 . 故选 C. 3. 设复数 z 满足（ 1 ＋ i ） z ＝ 2 － 2i （ i 为虚数单位），则 ｜ z ｜＝ 　 　　　　 .   解析： 由已知可得 z ＝ ＝ ＝ － 2i ，因此， ｜ z ｜＝ 2. 答案： 2 题型一 复数代数形式的乘法运算 【例 1 】 　 计算下列各题： （ 1 ）（ 1 － i ）（ 1 ＋ i ） ＋ （－ 1 ＋ i ）； （ 2 ）（ 2 － i ）（－ 1 ＋ 5i ）（ 3 － 4i ） ＋ 2i. 解 　 （ 1 ）（ 1 － i ）（ 1 ＋ i ） ＋ （ － 1 ＋ i ） ＝ 1 － i 2 － 1 ＋ i ＝ 1 ＋ i. （ 2 ）（ 2 － i ）（ － 1 ＋ 5i ）（ 3 － 4i ） ＋ 2i ＝ （ － 2 ＋ 10i ＋ i － 5i 2 ）（ 3 － 4i ） ＋ 2i ＝ （ 3 ＋ 11i ）（ 3 － 4i ） ＋ 2i ＝ （ 9 － 12i ＋ 33i － 44i 2 ） ＋ 2i ＝ 53 ＋ 21i ＋ 2i ＝ 53 ＋ 23i. 通性通法 复数的乘法运算法则的应用 （ 1 ）复数的乘法运算可以把 i 看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把 i 2 化为 － 1 ，进行最后结果的化简； （ 2 ）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便 . 例如平方差公式、完全平方公式等 . 1. 已知复数 z ＝ i （ 1 － i ），则其共轭复数 ＝ （ 　　 ） A. － 1 － i B. － 1 ＋ i C.1 － i D.1 ＋ i 解析： C 　 z ＝ i （ 1 － i ） ＝ i － i 2 ＝ 1 ＋ i ，所以 ＝ 1 － i. 故选 C. 2. 若复数 z 1 ， z 2 满足 z 1 ＝ 1 － 2i ， z 2 ＝ 3 ＋ 4i （ i 是虚数单位），则 z 1 · z 2 的虚部为 　 　　　　 .   解析： 由题意知， z 1 ·z 2 ＝ （ 1 － 2i ）（ 3 ＋ 4i ） ＝ 11 － 2i ，所以 z 1 ·z 2 的虚部为 － 2. 答案： － 2 题型二 复数代数形式的除法运算 【例 2 】 　 （ 1 ）已知 z ＝ ， i 为虚数单位，则 ｜ z ｜＝ （ 　　 ） A. B. C. D. （ 2 ）若复数 z 满足 z i ＝ － 1 ＋ i （ i 为虚数单位），则 z ＝ （ 　　 ） A. － 1 － i B. － 1 ＋ i C.1 － i D.1 ＋ i 解析 　 （ 1 ） z ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i ， ｜ z ｜＝ ＝ . 故选 C. （ 2 ）因为复数 z 满足 z i ＝ － 1 ＋ i （ i 为虚数单位），所以 z ＝ ＝ ＝ 1 ＋ i ，故选 D. 答案 　 （ 1 ） C 　 （ 2 ） D 通性通法 1 . 两个复数代数形式的除法运算的步骤 （ 1 ）首先将除式写为分式； （ 2 ）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （ 3 ）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式 . 2 . 常用公式 （ 1 ） ＝ － i ；（ 2 ） ＝ i ；（ 3 ） ＝ － i. 1. 设复数 z ＝ 1 － i （ i 是虚数单位），则复数