01要点深化·核心知识提炼
知识点1.点到直线的距离（1）点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足.实质上，点到直线的距离是直线外一点与直线上的点所连线段的长度的最小值. （2）平面上任意一点到直线（，不全为0）的距离为.名师点睛 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可.（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线或，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或.
知识点2.两条平行直线之间的距离两条平行直线之间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长.一般地，两条平行直线,与不全为0，且之间的距离为.名师点睛 （1）两条平行直线之间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且，的系数分别对应相等的情况，否则必须先转化才能套用公式. （2）两条平行直线之间的距离可以转化为点到直线的距离.
02题型分析·能力素养提升
【题型一】点到直线距离公式的运用例1若直线在两坐标轴上的截距相等，且点到直线的距离为，求直线的方程. 解若直线过原点，可设直线的方程为，由题意可得，解得.若直线不过原点，可设直线的方程为，即，由题意可得，解得或．综上所述，直线的方程为或或或．
题后反思 利用点到直线的距离公式求直线方程时，需要注意以下两点： （1）求直线方程时，若不能判断直线是否具有斜率，应对斜率存在与否加以讨论. （2）在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论.跟踪训练1已知直线过点且与点和点的距离之比为，求直线的方程.
解若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，点,到直线的距离分别为1,3，不符合题意.若直线的斜率存在，设直线的方程为，即由已知条件可得，整理得，解得或．综上所述，直线的方程为或，即或．
【题型二】平行线间的距离例2已知三条直线，直线和直线，且和的距离是. （1）求的值. 解的方程即为，所以和的距离，所以．因为，所以．
（2）能否找到一点，使得点同时满足下列三个条件：是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是.若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由. 解设点，若点满足条件②，则点在与和平行的直线上，且，解得或，所以或若点满足条件③，由点到直线的距离公式，得，
所以或．因为点在第一象限，所以不符合题意．联立方程和，解得，，应舍去．联立方程和，解得，，所以，,即为同时满足三个条件的点．
规律方法求两条平行直线之间的距离的两种思路（1）利用“化归”法将求两条平行直线之间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.（2）直接利用两平行直线与,不全为0，且之间的距离公式.
跟踪训练2两平行直线，分别过点，. （1），之间的距离为5，求两直线的方程； 解当，的斜率不存在时，易知，，，之间的距离为1，不符合题意；当，的斜率存在时，设斜率为，则，，化为一般式得，由，之间的距离为5，可得，解得或.当时，，；当时，，．故两直线方程为，或，
（2）若，之间的距离为，求的取值范围. 解如图，当，旋转到和垂直时，，之间的距离最大，为；当，旋转到和重合时，距离为0.又两平行直线，不重合，故．
【题型三】利用距离公式求最值例3已知实数，满足，那么的最小值为() DA.B.C.D. [解析]表示直线上的动点到点的距离，过点向直线作垂线，由垂线段最短知的最小值为点到直线的距离，即.故选D．
题后反思 （1）解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. （2）数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时，我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.跟踪训练3[2023扬州调研]已知直线，为直线上的动点，则的最小值为() CA.B.C.D.
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 平面直角坐标系中的距离公式 点到直线的距离 课件
