2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 1.1.1　空间向量及其线性运算 学案

1 ． 1.1 　空 间 向量及其 线 性运算 学习目标 1. 了解空间向量的概念． 2. 掌握空间向量的线性运算． 知识脉络 1 ．空间向量的概念 在空间，把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 长度 或 模 ． 2 ． 空间向量的表示 空间向量也用有向线段表示，有向线段的 长度 表示空间向量的模． 向量 a 的起点是 A ，终点是 B ，则向量 a 也可以记作 ，其模记为 | a | 或 | |. 思考 1 ：向量与有向线段有什么区别与联系？ 提示　向量是既有大小又有方向的量 ， 有向线段是规定了方向的线段 ，也是既有大小又有方向，用有向线段的长度 ( 大小 ) 表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向，把抽象的向量具体化了，是化无形为有形 ． 3 ．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0 单位向量 模为 1 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量 a 长度 相等且 方向 相反的向量叫做相反向量，记为－ a 共线向量或平行向量 如果表示若干空间的有向线段所在的直线 互相平行或重合 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量 相等向量 方向 相同 且模 相等 的向量，在空间 同向且等长 的有向线段表示同一向量或相等向量 4. 空间向量的加、减、数乘运算及其运算律 空间向量的运算 加法 a ＋ b ＝ ＋ 减法 a － b ＝ － 数乘 当 λ ＞ 0 时， λ a ＝ ＝ λ ，当 λ ＝ 0 时， λ a ＝ 0 ，当 λ ＜ 0 时， λ a ＝ ＝ λ λ ＞ 0 　 λ ＜ 0 加法与数乘运算律 (1) 交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ； (2) 结合律： ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c ), λ ( μ a )=( λμ ) a ； (3) 分配律： ( λ ＋ μ ) a ＝ λ a ＋ μ a ， λ ( a ＋ b ) ＝ λ a ＋ λ b 5 ． 共面向量 (1) 共面向量的定义 平行于 同一个平面 的向量，叫做共面向量． (2) 三个向量共面的充要条件 ( 又称共面向量定理 ) 如果两个向量 a ， b 不共线，那么向量 p 与向量 a ， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 ( x ， y ) ，使 p ＝ x a ＋ y b ． 思考 2 ：若对任意一点 O 和不共线的三点 A 、 B 、 C ，且 ＝ x ＋ y ＋ z ，则 x ＋ y ＋ z ＝ 1 是四点 P 、 A 、 B 、 C 共面的充要条件吗？ 提示　是 ， 因为 P 、 A 、 B 、 C 共面的充要条件是存在 m 、 n 使 ＝ m ＋ n ， 即 － ＝ m ( － ) ＋ n ( － ) ⇔ ＝ (1 － m － n ) ＋ m ＋ n . 令 x ＝ 1 － m － n ， y ＝ m ， z ＝ n . 则 ＝ x ＋ y ＋ z ，且 x ＋ y ＋ z ＝ 1. 判断正误 (1) 有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大． ( 　　 ) (2) 空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算． ( 　　 ) (3) 若 | a | ＝ | b | ，则 a ＝ b 或 a ＝－ b .( 　　 ) (4) 若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量． ( 　　 ) (5) 如果 ＝ ＋ t ，则 P ， A ， B 共线． ( 　　 ) (6) 空间中任意三个向量一定是共面向量． ( 　　 ) 解析　 (1) 正确．向量的模可以比较大小 ， 有向线段长度越长 ， 其所表示的向量的模就越大． (2) 错误．若空间两向量为共线向量 ， 此时不能用平行四边形法则进行运算． (3) 错误． | a | ＝ | b | 说明 a 与 b 长度相等 ， 但两向量不一定共线． (4) 错误．由共面向量的定义知空间中任意两个向量都是共面向量 ，故此种说法错误． (5) 正确．能判定 P ， A ， B 共线．因为原式可化为： ＝ t ， 由共线向量的充要条件可知 ， P ， A ， B 共线． (6) 错误．空间中的任意三个向量不一定是共面向量．例如 ， 对于空间四边形 ABCD ， ， ， 这三个向量就不是共面向量． 答案　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) × 理解空间向量概念时的四个关注点 (1) 两向量的关系：空间向量是具有大小与方向的量 ， 两个向量之间只有等与不等之分而无大小之分． (2) 有向线段与向量：向量可用有向线段来表示 ， 但是有向线段不是向量 ， 它只是向量的一种表示方法． (3) 向量的相等：同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量． (4) 向量的平移：空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内 ，成为同一个平面内的两个向量． 类型一 空间向量的概念及简单应用 数学抽象 【例 1 】　 (1) 下列说法中正确的是 ( 　　 ) A ．单位向量都相等 B ．任一向量与它的相反向量不相等 C ．若 | a | ＝ | b | ，则 a 与 b 的长度相等，方向相同或相反 D ．若 a 与 b 是相反向量，则 | a | ＝ | b | (2) 如图所示，以长方体 ABCD ­ A 1 B 1 C 1 D 1 的八个顶点的两点为始点和终点的向量中： ① 试写出与 相等的所有向量； ② 试写出 的相反向量； ③ 若 AB ＝ AD ＝ 2 ， AA 1 ＝ 1 ，求向量 的模． (1) D 　 [ 单位向量的模都等于 1 ， 但方向不一定相同 ，可以是任意方向，故 A 错误； 0 的相反向量还是 0 ， 它们是相等的 ， 故 B 错误；当 | a | ＝ | b | 时 ， a 与 b 的方向是任意的 ， 不一定相同或相反 ， 故 C 错误；当 a 与 b 互为相反向量时