2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册 2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和 课件

第一章　数　列 §2　等差数列2.2　等差数列的前n项和第1课时　等差数列的前n项和 1．理解等差数列前n项和的推导方法．2．掌握等差数列的前n项和公式．1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．培养逻辑推理素养．2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系，培养数学运算素养． 等差数列的前n项和公式 知识点 [提醒]　在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式 Sn＝____________ Sn＝________________ 想一想：求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？ 练一练：1．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝15，a7＝35，则S9＝(　　)A．450 B．400 C．350 D．225D 2．已知数列{an}为等差数列，首项a1＝2，公差d＝4，前n项和Sn＝200，则n＝(　　)A．8 B．9 C．10 D．11C 3．已知等差数列{an}满足a5＋a6＝28，则其前10项的和为_______. 140 题|型|探|究　　　　　已知等差数列{an}中：(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d；(3)S5＝24，求a2＋a4.题型一有关等差数列前n项和公式的计算典例 1 [规律方法]　等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． 　　　　　　　　(1)在等差数列{an}中，已知a3＋a4＝12，则数列{an}的前6项之和为(　　)A．12 B．32 C．36 D．72(2)设一个等差数列的前4项和为3，前8项和为11，则这个等差数列的公差为(　　)对点训练❶CA 　　　　　(1)已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，　Sn－4＝130，则n＝(　　)A．12　　　　 B．14　　　　 C．16　　　　 D．18题型二等差数列前n项和的性质典例 2B C (3)求S110想到Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差． [解析]　(1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80.S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.两式相加得4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30. 方法三：设等差数列{an}的公差为d，S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，即100d＝－22，所以S110＝－110. [规律方法]　等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…也构成等差数列． (4)项的个数的“奇偶”性质．{an}为等差数列，公差为d.①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；(5)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．(6)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0. 　　　　　　　　(1)已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝(　　)A．7　　　　 B．8C．9 D．10(2)等差数列{an}共2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则an＋1＝_______. 对点训练❷D29 [解析]　(1)∵等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)Sn＝100，∴an＋an－1＋an－2＝54(n>3)又{an}为等差数列，∴3an－1＝54(n≥2)，∴an－1＝18(n≥2)，又a2＝2，Sn＝100，∴n＝10，故选D. (2)因为等差数列{an}共2n＋1项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，记奇数项之和为S1，偶数项之和为S2，则S1－S2＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1)－(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝a1＋nd＝an＋1＝319－290＝29. 　　　　　(1)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝_____时，{an}的前n项和最大．(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝8，S4＝36.①求{an}的通项公式；②当n为何值时，Sn有最大值？并求其最大值．[分析]　求Sn的最大值，可以利用数列的通项公式求解，也可以利用前n项和的函数特性求解．题型三等差数列前n项和的最值典例 38 [解析]　(1)8　由等差数列的性质，得a7＋a8＋a9＝3a8>0，a8>0.又因为a7＋a10<0，所以a8＋a9<0，所以a9<0，所以S8>S7，S8>S9，即数列{an}的前8项和最大． [规律方法]　等差数列前n项和最值的两种求法(1)转折项法． 　　　　　　　　(1)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为_______.(2)已知等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11.那么当n＝_____，Sn取最大值．对点训练❸207 易|错|警|示由和求项注意验证首项　　　　　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．[错解]　∵an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，∴数列{an}是等差数列．[误区警示]　an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证．典例 4 [正解]　a1＝S1＝6，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，