四、立体几何(高考真题分类汇编）——三年（2021-2023）高考数学真题精编专辑（共七份）

四 、 立体几何 —— 三年（ 2021-2023 ）高考数学创新真题精编 1. 【 2023 年全国乙卷文科】 已知点 S ， A ， B ， C 均在半径为 2 的球面上， 是边长为 3 的等边三角形， 平面 ABC ，则 __________. 2. 【 2023 年全国甲卷理科】 在正方体 中， E ， F 分别为 AB ， 的中点 . 以 EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有 _________ 个公共点 . 3. 【 2023 年新课标Ⅰ卷】 如图，在正四棱柱 中， ， . 点 ， ， ， 分别在棱 ， ， ， 上， ， ， . (1) 证明： ； (2) 点 P 在棱 上，当二面角 为 时，求 . 4. 【 2022 年北京卷】 已知正三棱锥 的六条棱长均为 6 ， S 是 及其内部的点构成的集合，设集合 ，则 T 表示的区域的面积为 ( ) A. B. C. D. 5. 【 2022 年浙江卷】 某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积（单位： ）是 ( ) A. B. C. D. 6. 【 2022 年上海卷】 如图，正方体 中， P ， Q ， R ， S 分别为棱 ， ， ， 的中点，连接 ， . 对于空间任意两点 M ， N ，若线段 MN 上不存在点在线段 ， 上，则称 M ， N 两点可视 . 则下列选项中与点 可视的为 ( ) A. 点 P B. 点 B C. 点 R D. 点 Q 7. 【 2022 年全国甲卷文科】 在长方体 中，已知 与平面 ABCD 和平面 所成的角均为 30° ，则 ( ) A. B. AB 与平面 所成的角为 30° C. D. 与平面 所成的角为 45° 8. 【 2022 年全国乙卷理科】 已知球 O 的半径为 1 ，四棱锥的顶点为 O ，底面的四个顶点均在球 O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为 ( ) A. B. C. D. 9. 【 2021 年新高考Ⅰ卷】 已知正四棱锥的侧棱长为 l ，其各顶点都在同一球面上，若该球的体积为 36π ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案以及解析 1. 答案： 2 解析：如图，设 的外接圆圆心为 ，连接 ，因为 是边长为 3 的等边三角形，所以其外接圆半径 . 将三棱锥 补形为正三棱柱 ，由题意知 SA 为侧棱，设球心为 O ，连接 ， ，则 平面 ABC ，且 . 又球的半径 ， ，所以 ，得 . 解法二：如图，设 的外接圆圆心为 ，连接 ，因为 是边长为 3 的等边三角形，所以其外接圆半径 . 设三棱锥 的外接球球心为 O ，连接 ，则 平面 ABC . 又 平面 ABC ，所以 ，连接 OS ， OA ，由题意知 . 过 O 作 SA 的垂线，设垂 足为 H ，则四边形 为矩形，所以 ，由 可知 H 为 SA 的中点，则 . 所以在 中，由勾股定理可得 ，即 ，得 . 2. 答案： 12 解析：如图，线段 EF 过正方体的中心，所以以 EF 为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为 ，而正方体的中心到每一条棱的距离均为 ，所以以 EF 为直径的球与每一条棱均相切，所以共有 12 个公共点 . 3. 答案： (1) 证明见解析 (2) 解析： (1) 解法一： 依题意，得 ， 所以 . 解法二： 以点 C 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以 ，所以 . (2) 建立空间直角坐标系，建系方法同 (1) 中解法二，设 ，则 ， 所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 所以 ，则 ， 令 ，得 . 设平面 的法向量为 ， 由 (1) 解法二知， ， ， 所以 ，则 ， 令 ，得 . 所以 ， 整理得 ，解得 或 ， 所以 或 ， 所以 . 4. 答案： B 解析：设 O 为 的中心，连接 PO ， AO ，在正三角形 ABC 中， ，在 中， ，当 时，连接 OQ ，根据勾股定理可得 ，易知 Q 的轨迹是圆心为 O ，半径为 1 的圆，由于集合 ，故集合 T 表示的区域是圆心为 O ，半径为 1 的圆及其内部，其面积为 ，故选 B. 5. 答案： C 解析： 由三视图知，该几何体是由半球体、圆柱体、圆台组合而成的，其中半球的半径为 1 ，圆柱的底面半径为 1 ，高为 2 ，圆台的上、下底面的半径分别为 1 和 2 ，高为 2 ，所以该几何体的体积为 ，故选 C. 6. 答案： D 解析：设与点 可视的点为 G ，依题意线段 上不存在点在线段 ， 上 . 当点 G 与点 P 重合时， 即 ，与线段 相交， A 错误；当点 G 与点 B 重合时， 即 ，与线段 相交， B 错误；当点 G 与点 R 重合时， 即 ，与线段 相交， C 错误；当点 G 与点 Q 重合时， 即 ，与线段 ， 均异面，故选 D. 7. 答案： D 解析： 如图，连接 BD ，易知 是直线 与平面 ABCD 所成的角，所以在 中， ，设 ， ， . 易知 是直线 与平面 所成的角，所以在 中， ，因为 ，所以 ， ，所以在 中， ，所以 A 项错误 . 易知 是直线 AB 与平面 所成的角，所以在 中， ，所以 ，所以 B 项错误 . 在 中， ，而 ，所以 C 项错误 . 易知 是直线 与平面 所成的角，因为在 中， ，所以 ，所以 D 项正确 . 故选 D. 8. 答案： C 解析： 解法一（特殊法）不妨设四棱锥的底面是正方形，边长为 a ，底面正方形外接树的半径为 r ，则 ，四棱锥的高 ，所以四棱锥的体积 ，当且仅当 ，即 时等号成立，此时四棱锥的高 ，故选 C. 解法二（导数法）设四棱锥的底面是正方形，底面正方形外接圆的半径为 r ，四棱锥的高为 h ，则 ， ，正方形的边长为 ，所以四棱