必修第一册 第一章集合与常用逻辑用语
1.4.2 充要条件第一章 集合与常用逻辑用语
新知1：四种条件关系p能否推qq能否推pp与q的关系p是q的________________条件p是q的________________条件p是q的________________条件p是q的_________________条件充分必要(充要)充分不必要必要不充分既不充分也不必要
【例1】设：实数满足且，：实数满足，则是的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若“且”则“”；若“”，可能，此时无法得到“且”；所以是的充分不必要条件．故选：A 题型一：充分条件与必要条件的判断
【对点训练1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）A． B．或 C． D． 【答案】C【解析】由得，因为选项中只有，故只有C选项中的条件是使不等式成立的一个充分不必要条件．故选：C． 题型一：充分条件与必要条件的判断
【例2】已知集合，．求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【解析】证明：充分性：若，或，则至少有2个子集．当，或时，，方程有解，集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证；必要性：若至少有2个子集，则或．若至少有2个子集，则至少有1个元素，方程有解，，解得或，必要性得证．综上，至少有2个子集的充要条件是或． 题型二：充要条件的证明新知2：充要条件的证明
【对点训练2】求证：方程有且只有一个负数根的充要条件为或． 【解析】证明：必要性：若方程有且只有一个负数根，当时，方程为，解得，合乎题意；若时，，设方程的两根分别为、，则，此时方程有且只有一个负数根；当时，则，可得，设方程的两根分别为、，则，则、均为负数，由题意可知，可得．所以，“方程有且只有一个负数根”“或”； 题型二：充要条件的证明新知2：充要条件的证明充分性：当时，原方程变为，解得，原方程只有一个负根；当时，方程为，解得，原方程只有一个负根；当时，对于原方程，，此时方程有两根，设为、，则，此时方程有且只有一个负数根．所以，“方程有且只有一个负数根”“或”．综上所述，方程有且只有一个负数根的充要条件为或．
新知3：条件类型与集合的关系从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. “充小必大”：充分条件范围小必要条件范围大
【例3】设命题p：；命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】解 设A＝，B＝，由p是q的充分不必要条件，可知，∴，且等号不同时成立，解得，故所求实数a的取值范围是． 题型三：根据充分条件求参数取值范围
【对点训练3】已知集合或，．（1）求实数的取值范围，使它成为的充要条件；（2）求实数的一个值，使它成为的一个充分不必要条件；（3）求实数的取值范围，使它成为的一个必要不充分条件． 【解析】（1）的充要条件是，所以实数的取值范围是．（2）由（1）知，的充要条件是， 则当时，是的一个充分但不必要条件； 比如是所求的一个充分但不必要条件．（答案不唯一） （3）求实数a的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件就是另求一个集合， 故是它的一个真子集．如果时，未必有， 但是时，必有， 故是所求的一个必要但不充分条件．（答案不唯一） 题型三：根据充分条件求参数取值范围
【例4】已知（1）是否存在m∈R使是的充要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由． 【解析】，．（1）要使是的充要条件，则，即 此方程组无解，则不存在实数，使是的充要条件；（2）要使是的必要条件，则，当时，，解得；当时，，解得，要使，则有解得，所以，综上可得，当实数时，是的必要条件． 题型四：根据必要条件求参数取值范围
【对点训练4】已知关于的方程的解集至多有两个子集，，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】∵是的必要不充分条件，∴是的充分不必要条件，对于，依题意，知，∴，设，，由题意知，∴，或，解得，故实数的取值范围是：． 题型四：根据必要条件求参数取值范围
【例5】若“”是“”的充要条件，则的值为 ． 【答案】【解析】由题意可知，，解得，所以．故答案为：． 题型五：根据充要条件求参数取值范围
【对点训练5】集合中至多有一个元素的充要条件是 ． 【答案】或【解析】由已知得方程至多一个根，或，解得故答案为或 题型五：根据充要条件求参数取值范围
小结提升，形成结构1.会判断给定命题的真假；2.会证明充要条件；3.理解“充小必大”，会由已知的条件类型判断对应集合的关系，从而求参数
2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册 1-4-2 充要条件 课件
