4.4
数学
归纳法
素养目标
·
定方向
学习目标
核心素养
借助教材实例了解数学归纳法的原理
数学抽象
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
逻辑推理
能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题
数学运算 逻辑推理
必备知识
·
探新知
知识点数学归纳法
一般地，证明一个与正整数
n
有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(
归纳奠基
)
证明当
n
＝
__
n
0
__(
n
0
∈
N
*
)
时命题成立；
(2)(
归纳递推
)
以
“
当
n
＝
k
(
k
∈
N
*
，
k
≥
n
0
)
时命题成立
”
为条件，推出
“
当
n
＝
__
k
＋
1
__
时命题也成立
”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
想一想：
用数学归纳法证明命题的关键是什么？
提示：
步骤
(2)
是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设
“
当
n
＝
k
(
k
∈
N
*
，
k
≥
n
0
)
时命题成立
”
起着已知的作用，证明
“
当
n
＝
k
＋
1
时命题也成立
”
的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当
n
＝
k
＋
1
时命题也成立．而不能直接将
n
＝
k
＋
1
代入归纳假设，此时
n
＝
k
＋
1
时命题成立也是假设，命题并没有得证．
练一练：
用数学归纳法证明
1
＋
2
＋
…
＋
(2
n
＋
1)
＝
(
n
＋
1)(2
n
＋
1)
时，在验证
n
＝
1
成立时，左边所得的代数式是
(
C
)
A
．
1
B
．
1
＋
3
C
．
1
＋
2
＋
3
D
．
1
＋
2
＋
3
＋
4
[
解析
]
当
n
＝
1
时，
2
n
＋
1
＝
2
×
1
＋
1
＝
3
，所以左边为
1
＋
2
＋
3.
故应选
C
．
关键能力
·
攻重难
题型探究
题型一
对数
学归纳法的理解
典例
1
(1)
用数学归纳法证明
“
凸
n
边形的内角和等于
(
n
－
2)π”
时，归纳奠基中
n
0
的取值应为
(
C
)
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
(2)
一个关于自然数
n
的命题，如果证得当
n
＝
1
时命题成立，并在假设当
n
＝
k
(
k
≥
1
且
k
∈
N
*
)
时命题成立的基础上，证明了当
n
＝
k
＋
2
时命题
成立，那么综合上述，对于
(
B
)
A
．一切正整数命题成立
B
．一切正奇数命题成立
C
．一切正偶数命题成立
D
．以上都不对
[
解析
]
(1)
根据凸
n
边形至少有
3
条边，知
n
≥
3
，故
n
0
的值应为
3.
(2)
本题证明了当
n
＝
1
，
3
，
5
，
7
，
…
时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．
【对点训练】
❶
(2022·
广东佛山期末
)
用数学归纳法证明
“
＋
＋
…
＋
>
”
时，由
k
到
k
＋
1
，不等式左边的变化是
(
C
)
A
．增加
一项
B
．增加
和
两项
C
．增加
和
两项，同时减少
一项
D
．以上结论都不正确
[
解析
]
当
n
＝
k
时
，左边＝
＋
＋
…
＋
，
当
n
＝
k
＋
1
时，左边＝
＋
＋
…
＋
＋
＋
，故不等式左边的变化是增加
和
两项，同时减少
一项．
题型二
数学归纳法在数列中的应用
典例
2
(2022·
深圳市耀华实验学校高二联考
)
已知数列
{
a
n
}
是正数组成的数列，其前
n
项和为
S
n
，对于一切
n
∈
N
*
均有
a
n
与
2
的等差中项等于
S
n
与
2
的等比中项．
(1)
计算
a
1
，
a
2
，
a
3
，并由此猜想数列
{
a
n
}
的通项公式；
(
2)
用数学归纳法证明
(1)
中你的猜想．
[
分析
]
(1)
由题意
S
n
＝
，令
n
＝
1
，因为
S
1
＝
a
1
，可求出
a
1
的值，再反复代入，分别求出
a
2
，
a
3
，总结出规律写出通项公式；
(2)
根据
(1)
中的猜想，利用归纳法进行证明，假设当
n
＝
k
时成立，然后利用已知条件验证
n
＝
k
＋
1
时也成立，从而求证．
[
解析
]
(1)
由
＝
得
S
n
＝
，由
S
n
可求得
a
1
＝
2
，
a
2
＝
6
，
a
3
＝
10
，由此猜想
{
a
n
}
的通项公式
a
n
＝
4
n
－
2
，
n
∈
N
*
.
(2)
①
当
n
＝
1
时，
a
1
＝
2
，等式成立；
②
假设当
n
＝
k
(
k
∈
N
*
)
时，等式成立，即
a
k
＝
4
k
－
2
，
∴
a
k
＋
1
＝
S
k
＋
1
－
S
k
＝
－
，
∴
(
a
k
＋
1
＋
a
k
)(
a
k
＋
1
－
a
k
－
4)
＝
0.
又
a
k
＋
1
＋
a
k
≠
0
，
∴
a
k
＋
1
－
a
k
－
4
＝
0
，
∴
a
k
＋
1
＝
a
k
＋
4
＝
4
k
－
2
＋
4
＝
4(
k
＋
1)
－
2
，
∴
当
n
＝
k
＋
1
时，等式也成立．
由
①②
可知，
a
n
＝
4
n
－
2
对任何
n
∈
N
*
都成立．
[
规律方法
]
用数学归纳法求数列通
项公式的一般步骤
1
．
由已知条件求出数列的前几项．
2
．依据求出的前几项猜想数列的通项．
3
．用数学归纳法证明上面的猜想是正确的．
【对点训练】
❷
(2022·
甘肃武威高二检测
)
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
＝
1
－
na
n
(
n
∈
N
*
)
．
(1)
计算
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
；
(2)
猜想
a
n
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
[
解析
]
(1)
依题设可得，当
n
＝
1
时，
S
1
＝
a
1
.
即
a
1
＝
S
1
＝
1
－
a
1
，即
a
1
＝
，
故
a
1
＝
＝
，
a
2
＝
＝
，
a
3
＝
＝
，
a
4
＝
＝
.
(2)
猜想：
a
n
＝
.
证明
如下：
①
当
n
＝
1
时，猜想显然成立．
②
假设当
n
＝
k
(
k
∈
N
*
)
时，猜想成立，
即
a
k
＝
，
当
n
＝
k
＋
1
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 4.4数学归纳法 学案
