一轮大题专练
19
—解三角形（面积问题
2
）
1
．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，若
．
（
1
）求角
的大小；
（
2
）若
，
，
为边
上一点，且
，求
的面积．
解：（
1
）由
得
，
即
，
所以
，
因为
，
化简的
，
即
，
由
为三角形内角得
；
（
2
）
中，由正弦定理得
，
所以
，
故
，
所以
，
所以
的面积
．
2
．在
中，
，
，
分别是角
，
，
的对边，若
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若
面积的最大值为
，求
．
解：（Ⅰ）由正弦定理可得
，
即有
，即
，
又
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
又
，所以
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理可知：
，
所以
，
由基本不等式得
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
又
的面积的最大值为
，
即
，
所以
．
3
．已知在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，
，其中
．
（Ⅰ）若
，
，求
；
（Ⅱ）若
，
，求
的面积．
解：
因为
，
所以
，
即
，
所以
或
，
因为
，
所以
或
（舍
，
所以
，
由余弦定理得
，
解得
；
由
得
，
因为
，所以
①
，
由正弦定理
及
，
，
得
，
所以
，即
②
，
①②
联立得
，
的面积
．
4
．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
．已知
．
（
1
）求
；
（
2
）已知
，
，且边
上有一点
满足
，求
．
解：（
1
）因为
，
由正弦定理得
，
因为
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
所以
，
所以
．
（
2
）解法一：设
的
边上的高为
，
的
边上的高为
，
因为
，
，
，
所以
，
所以
，
是
角
的内角平分线，所以
，
因为
，可知
，
所以
，
所以
．
解法二：设
，
则
，
因为
，
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，可知
，
所以
，
所以
．
解法三：设
，
，则
，
在
中，由
，
及余弦定理得
因为
，可知
，
在
中，
，
即
，
在
中，
，
即
，
所以
．
5
．如图所示，在
中，
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
，
，
（
1
）求
和
；
（
2
）如图，设
为
边上一点，
，求
的面积．
解：（
1
）在
中，因为
，
所以由正弦定理得：
，
因为
，所以
，
所以
，
又
，所以
，
由余弦定理得，
，
所以
，
在
中，由正弦定理得，
，
所以
；
（
2
）在
中，由正弦定理得，
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
由
，设
，
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
．
6
．已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，满足
．
（
1
）求
的大小；
（
2
）如图，
，在直线
的右侧取点
，使得
，求四边形
面积的最大值．
解：（
1
）由正弦定理知，
，
，
，即
，
，
，
，
．
（
2
）由（
1
）知，
，
，
为等边三角形，
在
中，由余弦定理知，
，
而
，
，
四边形
的面积
，
，
，
，
当
即
时，
取得最大值，为
，
故四边形
面积的最大值为
．
解答题专练19—解三角形（面积问题2）-高考数学一轮复习
