6.3 等比数列及其前n项和第六章
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必备知识 预案自诊
【知识梳理】 1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的比都等于 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母q表示(显然q≠0). 2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项公式为an= ;通项公式的推广an=amqn-m. 第2项 同一个 公比 a1qn-1(a1≠0,q≠0)
3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使 成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时, . 4.等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;a,G,b G2=ab
常用结论设数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和.
常用结论
【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)满足an+1=qan(n∈N* ,q为常数)的数列{an}为等比数列.( )(2)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.( )(3)等比数列中不存在数值为0的项.( )(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列{bn}也是等比数列.( )(5)如果数列{an}为等比数列,那么数列{ln an}是等差数列.( )××√×××
2.(2020江西上饶三模,文3)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,a3+4S2=0,则a10=( )A.-512 B.512 C.1 024 D.-1 024答案 A 解析 因为在等比数列{an}中,a1=1,a3+4S2=0,所以q2+4(1+q)=0,解得q=-2,则a10=-512.
3.(2020湖南衡阳一模)在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是( )A.{6} B.{-8,8} C.{-8} D.{8}答案 D
4.(2020全国1,文10)设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=( )A.12 B.24 C.30 D.32答案 D 解析 设等比数列{an}的公比为q,因为a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.
5.若数列{an}是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,则an= . 答案 4n-1 解析 因为数列{an}是等比数列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以an=4n-1,故答案为4n-1.
关键能力 学案突破
考点1等比数列的基本运算【例1】 (2020全国3,文17)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.
思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法:(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.
对点训练1(1)(2019全国3,理5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )A.16 B.8 C.4 D.2(2)(2020全国2,文6)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则 =( )A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1
答案 (1)C (2)B
考点2等比数列的判定与证明【例2】已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.
思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?解题心得 1.证明数列{an}是等比数列常用的方法:(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N* ),则{an}是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
对点训练2(2020福建福州三模,理17)已知数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.(1)若数列{an}为等差数列,求Sn;(2)若bn+1=b1+2Sn,证明:数列
考点3等比数列性质的应用(多考向探究)考向1 等比数列项的性质的应用【例3】 (1)(2020河北沧州一模,理7)已知{an}为等比数列,a5+a8=-3,a4a9=-18,则a2+a11=( )(2)(2020辽宁锦州一模,7)已知等比数列{an},若a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为( )A.128 B.64 C.16 D.8思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?
答案 (1)C (2)B
考向2 等比数列和的性质及应用【例4】已知数列{an}是等比数列,Sn为其前n项和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,则S12等于( )A.40 B.60 C.32 D.50(2)已知数列{an}是各项都为正数的等比数列,Sn为其前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=( )A.150 B.-200C.150或-200 D.400
答案 (1)B (2)A 解析 (1)由等比数列的性质可知,数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列,即数列4,8,S9-S6,S12-S9是等比数列,因此S12=4+8+16+32=60,故选B.(2)依题意,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又因为数列{an}的各项都为正数,即S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,
解题心得 1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解
6.3 等比数列及其前n项和课件2024届高考数学（文科）一轮复习基础过关
