知识梳理·自主探究情境导入路边有一条河,某人从A点走到了B点.观察下列两组画面,并推断哪一组能说明此人的行程一定曾渡过河?可以将这个实际问题构建如下数学模型:如图,若将河看成x轴,建立平面直角坐标系,A,B是此人的起点和终点.探究:点A,B满足什么条件就能说明此人的行程一定曾渡过河?答案:只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可,即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反,就能说明此人的行程一定曾渡过河.
知识探究1.函数的零点(1)概念.使得 的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点.(2)方程、函数、图象之间的关系.函数f(x)的 就是函数y=f(x)的图象与 ,也就是方程f(x)=0的解.思考1:函数的零点是一个点吗?提示:函数的零点不是一个点,而是具体的自变量的取值.f(x0)=0零点x轴交点的横坐标
思考2:函数的零点与方程的根有什么联系和区别?函数与方程之间有何联系?提示:(1)联系.①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根;②存在性一致:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(2)区别.零点对于函数而言,根对于方程而言.函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础.
问题:观察函数的图象:(1)在区间(a,b)上 (填“有”或“无”)零点, f(a)·f(b) 0(填“<”或“>”); (2)在区间(b,c)上 (填“有”或“无”)零点, f(b)·f(c) 0(填“<”或“>”); (3)在区间(c,d)上 (填“有”或“无”)零点, f(c)·f(d) 0(填“<”或“>”). 有<有<有<
2.零点存在定理若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,并且在区间端点的函数值 ,即 ,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.思考3:若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点一定是唯一的吗?提示:不一定.如f(x)=x3-x在区间[-2,2]上有f(2)·f(-2)<0,但f(x)在区间(-2,2)内有三个零点-1,0,1.一正一负f(a)·f(b)<0连续
思考4:若函数y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)>0,是不是说明函数y=f(x)在区间(a,b)内没有零点?提示:不是.函数y=f(x)在区间(a,b)内也可能有零点.如f(x)=x2-1,在区间[-2,2]上有f(-2)·f(2)>0,但在区间(-2,2)内有两个零点-1,1.思考5: 函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,是不是一定有f(a)·f(b)<0?提示:不一定,如f(x)=x2在区间(-1,1)上有零点0,但是f(-1)·f(1)=1×1=1>0.
师生互动·合作探究探究点一函数的零点理解角度1 根据函数的解析式求函数的零点[例1] (1)求函数f(x)=1-log2(x+3)的零点;解:(1)令1-log2(x+3)=0,得x=-1,所以函数f(x)=1-log2(x+3)的零点是-1.
(3)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数 g(x)=bx2+ax的零点.
针对训练:判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=-x2-4x-4;解:(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2,所以函数的零点为-2.
针对训练:判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(3)f(x)=4x+5;解:(3)令4x+5=0,则4x=-5<0,而4x>0,所以方程4x+5=0无实数根,所以函数不存在零点.(4)f(x)=log3(x+1).解:(4)令log3(x+1)=0,解得x=0,所以函数的零点为0.
角度2 确定函数零点的个数[例2] 函数f(x)=|log0.5x|-2-x的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4
针对训练:函数f(x)=ln x+3x-2的零点的个数是 . 解析:由f(x)=ln x+3x-2=0,得ln x=2-3x,设g(x)=ln x,h(x)=2-3x,在同一平面直角坐标系下作两函数的图象,如图所示,两个函数的图象只有1个交点,故函数f(x)=ln x+3x-2只有1个零点.答案:1
角度3 根据函数的零点个数,求参数的取值范围解析:函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点.作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.故选C.
解析:作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,由图可知k∈(0,1].答案:(0,1]
探究点二零点存在定理[例4] (1)设方程log2x-22-x-1=0的解为x0,则x0所在的区间是( )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)答案:(1)C
学海拾贝一元二次方程根的分布问题设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,则x1,x2的分布情况与一元二次方程系数之间的关系如表(记f(x)=ax2+bx+c(a>0)):根的分布图象所需条件x1<x2<kk<x1<x2
x1<k<x2x1,x2∈(k1,k2)x1,x2中有且仅有一个在(k1,k2)内
注意:二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有以下特殊根的条件:(3)一个正根,一个负根:x1·x2<0.
典例探究:已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两个实数根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求实数m的取值范围;
典例探究:已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(2)若方程两个不相等的实数根均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.
应用探究1:已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则实数a的取值范围是( )A.(4,+∞) B.(-∞,
2023-2024学年北师大版必修第一册 利用函数性质判定方程解的存在性(课件)
