2023-2024学年湘教版选择性必修第一册 3.3抛物线3.3.1抛物线的标准方程 课件

第3章3.3.1　抛物线的标准方程 课标要求1.掌握抛物线的定义及其标准方程;2.能用抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程. 基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引 学以致用·随堂检测全达标 基础落实·必备知识全过关 知识点1抛物线的定义我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离　　　　的点的轨迹叫作抛物线,点F叫作抛物线的　　　　,直线l叫作抛物线的　　　　. 名师点睛定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点,设为M;一个定点F,叫作抛物线的焦点;一条定直线l,叫作抛物线的准线;一个定值,即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.相等 焦点准线 过关自诊1.在抛物线的定义中,为什么要注明F∉l? 提示若点F在直线l上,那么平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线. 2.若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x=-3的距离相等,则动点P的轨迹是(　　)A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线B解析 由抛物线定义知,动点轨迹为抛物线. 知识点2抛物线的标准方程图象标准方程y2=2px(p>0)　　 　 (p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦点坐标( ,0)(- ,0)　　　 (0,- )准线方程x=-x=y=-　　 　 y2=-2px 名师点睛1.标准方程特征:等号一边是某个变量的平方,等号的另一边是另一变量的一次项;抛物线的标准方程中p的几何意义是焦点到准线的距离,因此p是一个正数.2.根据抛物线方程确定焦点的位置的方法:若一次项的字母是x,则焦点就在x轴上,若其系数是正的,则焦点就在x轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,则焦点就在x轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是y,则焦点就在y轴上,若其系数是正的,则焦点就在y轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,则焦点就在y轴的负半轴上(开口向下). 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)抛物线可以看作是双曲线的一支.(　　)(2)根据抛物线的定义求抛物线的方程时,由于所建立的直角坐标系不同,抛物线的方程也不同.(　　)(3)若抛物线的方程为y=ax2(a≠0),则抛物线的焦点在x轴上.(　　)2.二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛物线相同吗?× √ × 提示不完全相同.当抛物线的开口向上或向下时,可以看作是二次函数的图象;当开口向左或向右时,不能看作是二次函数的图象. 重难探究·能力素养全提升 探究点一 根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程【例1】求下列各条抛物线的焦点坐标和准线方程:(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2.分析 先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.解 (1)由方程y2=-12x知,抛物线开口向左,焦点在x轴的负半轴上,2p=12,所以p=6, =3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为x=3. 规律方法　根据抛物线的方程求焦点坐标、准线方程的方法已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时,一般先将所给方程化为标准形式,由标准方程得到参数p,从而得焦点坐标和准线方程,要注意p>0. 变式训练1指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程,并说明抛物线开口方向.(1)x2-4y=0;(2)x=ay2(a≠0).解 (1)∵抛物线x2-4y=0的标准形式为x2=4y,∴p=2.∵抛物线的焦点在y轴的正半轴上,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1,抛物线开口向上. 探究点二 求抛物线的标准方程【例2】根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)准线方程为y=5;(2)焦点到准线的距离为 ;(3)过点A(2,3).分析由题意确定方程形式,求出p,写出抛物线的标准方程或设出抛物线的标准方程,代入点的坐标求参数,写出抛物线的标准方程.解 (1)由准线方程为y=5知,焦点在y轴的负半轴上,且 =5,即p=10,因此,所求抛物线的标准方程为x2=-20y. 因此,所求抛物线的标准方程为y2=5x或y2=-5x或x2=5y或x2=-5y. (3)由于点(2,3)在第一象限,因此抛物线方程可设为y2=mx(m>0)或x2=ny(n>0). 规律方法　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 [提醒]求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)明确开口方向与方程间的对应关系;(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=ny,这样可以避免分类讨论;(3)注意p的几何意义. 变式训练2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点为直线3x-2y-6=0与坐标轴的交点;(2)过点(3,-4).解 (1)对于直线方程3x-2y-6=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=2.则抛物线的焦点为(0,-3)或(2,0).当焦点为(0,-3)时, =3,即p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;当焦点为(2,0)时, =2,即p=4,此时抛物线的标准方程为y2=8x.因此,所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=8x. (2)∵点(3,-4)在第四象限,∴设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).把点(3,-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y, 探究点三 抛物线定义的应用角度1轨迹问题【例3】设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为(　　)A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆A解析 由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,故圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线. 规律方法　利用抛物线的定