2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 学案

3 ． 2 　双曲线 3 ． 2.1 　双曲线及其标准方程 课程标准 1 ．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程． 2 ．掌握双曲线的定义，标准方程及几何图形． 学法解读 1 ．结合教材实例掌握双曲线的定义． ( 数学抽象 ) 2 ．掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程． ( 数学运算 ) 3 ．通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力． ( 数学运算、逻辑推理 ) 知识点 1 　双曲线的定义 1 ．定义：平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的差的 _ 绝对值 __ 等于非零常数 ( 小于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹． 2 ．定义的集合表示： { M ||| MF 1 | － | MF 2 || ＝ 2 a, 0<2 a <| F 1 F 2 |} ． 3 ．焦点：两个 _ 定点 F 1 ， F 2 __. 4 ．焦距： _ 两焦点间 __ 的距离，表示为 | F 1 F 2 |. 思考： (1) 双曲线定义中，将 “ 小于 | F 1 F 2 | ” 改为 “ 等于 | F 1 F 2 | ” 或 “ 大于 | F 1 F 2 | ” 的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ (2) 双曲线的定义中， F 1 ， F 2 分别为双曲线的左、右焦点，若 | MF 1 | － | MF 2 | ＝ 2 a ( 常数 ) ，且 2 a <| F 1 F 2 | ，则点 M 的轨迹是什么？ 提示： (1) 当距离之差的绝对值等于 | F 1 F 2 | 时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是 F 1 ， F 2 ，当距离之差的绝对值大于 | F 1 F 2 | 时，动点的轨迹不存在． (2) 点 M 在双曲线的右支上． 做一做：已知平面上定点 F 1 ， F 2 及动点 M ，命题甲： || MF 1 | － | MF 2 || ＝ 2 a ( a 为常数 ) ，命题乙：点 M 的轨迹是以 F 1 ， F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的 ( B ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [ 解析 ] 　根据双曲线的定义知甲 ⇒ / 乙，乙 ⇒ 甲，因此甲是乙的必要条件，故选 B. 知识点 2 　双曲线标准方程 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 － ＝ 1( a >0 ， b >0) 　 － ＝ 1( a >0 ， b >0) 　 焦点 _ ( － c, 0) ， ( c, 0) __ _ (0 ，－ c ) ， (0 ， c ) __ a ， b ， c 的关系 c 2 ＝ _ a 2 ＋ b 2 __ 做一做： (1) 设动点 M 到点 A (0 ，－ 5) 的距离与它到点 B (0,5) 的距离的差等于 6 ，则 M 点的轨迹方程是 ( C ) A. － ＝ 1 B. － ＝ 1 C. － ＝ 1( y >0) D. － ＝ 1( x >0) [ 解析 ] 　因为 || MA | － | MB || ＝ 6<10 ＝ | AB | ， 所以 M 点轨迹是焦点在 y 轴上的双曲线的上半支，其中 a ＝ 3 ， c ＝ 5 ，所以 b ＝ ＝ 4 ， 所以 M 点轨迹方程为 － ＝ 1( y >0) ． (2) 已知 a ＝ 5 ， c ＝ 10 ，焦点在 y 轴上，则双曲线的标准方程为 － ＝ 1 　 . [ 解析 ] 　由已知得 b 2 ＝ c 2 － a 2 ＝ 75 ，于是双曲线方程为 － ＝ 1. 题型探究 题型一　双曲线的定义 典例 1 已知 A (0 ，－ 5) ， B (0,5) ， | PA | － | PB | ＝ 2 a ，当 a ＝ 3 或 5 时， P 点的轨迹为 ( D ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 [ 解析 ] 　当 a ＝ 3 时， 2 a ＝ 6 ，此时 | AB | ＝ 10 ， ∴ 点 P 的轨迹为双曲线的一支 ( 靠近点 B ) ． 当 a ＝ 5 时， 2 a ＝ 10 ，此时 | AB | ＝ 10 ， ∴ 点 P 的轨迹为射线，且是以 B 为端点的一条射线． [ 规律方法 ] 　判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件． 对点训练 ❶ 已知 F 1 ( － 8,3) ， F 2 (2,3) ，动点 P 满足 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 10 ，则 P 点的轨迹是 ( D ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线 D ．一条射线 [ 解析 ] 　 F 1 ， F 2 是定点，且 | F 1 F 2 | ＝ 10 ，所以满足条件 | PF 1 | － | PF 2 | ＝ 10 的点 P 的轨迹应为一条射线． 题型二　求双曲线的标准方程 典例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1) a ＝ 4 ，经过点 A ； (2) 与双曲线 － ＝ 1 有相同的焦点，且经过点 (3 ， 2) ； (3) 过点 P ， Q 且焦点在坐标轴上． [ 分析 ] 　 (1) 结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代入求解． (2) 因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在 x 轴上，且 c 2 ＝ 16 ＋ 4 ＝ 20 ，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解． (3) 双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解． [ 解析 ] 　 (1) 当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为 － ＝ 1( b >0) ，把点 A 的坐标代入，得 b 2 ＝－ × <0 ，不符合题意；当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为 － ＝ 1( b >0) ，把 A 点的坐标代入，得 b 2 ＝ 9. 故所求双曲线的标准方程为 － ＝ 1. (2) 方法一： ∵ 焦点相同， ∴ 设所求双曲线的标准方程为 － ＝ 1( a >0 ， b >0) ， ∴ c 2 ＝ 16 ＋ 4 ＝ 20 ，即 a 2 ＋ b 2 ＝ 20. ① ∵ 双曲线经过点 (3 ， 2) ， ∴ － ＝ 1. ② 由 ①② 得 a 2 ＝ 12 ， b 2 ＝ 8 ， ∴ 双曲线的标准方程为 － ＝ 1. 方法二：设所求双曲线的方程为 － ＝ 1( － 4< λ <16) ． ∵ 双曲线过点 (