北京市2022-2023学年高一上学期期末数学试题汇编-15函数的图像与函数的最值

北京市 2022-2023 学年上学期高一期末数学试题汇编 15 函数的图像与函数的最值 一 、单选题 1 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一校考期末）已知函数 （其中 ）的图象如图所示，则函数 的图象是（      ） A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一北京市十一学校校考期末）已知 ， ， 满足 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（      ） A ． B ． C ． D ． 3 ．（ 2023 秋 · 北京西城 · 高一北京八中校考期末）已知函数 ， ， ， ，则下列结论正确的是（      ） A ．函数 和 的图象有且只有一个公共点 B ． ，当 时，恒有 C ．当 时 ， ， D ．当 时，方程 有解 4 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一校考期末）已知函数 f ( x ) ＝ x － 4 ＋ ， x ∈(0,4) ，当 x ＝ a 时， f ( x ) 取得最小值 b ，则函数 g ( x ) ＝ a | x ＋ b | 的图象为 ( 　　 ) A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 2023 秋 · 北京通州 · 高一统考期末）函数 与 的图象（      ） A ．关于 轴对称 B ．关于 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线 对称 6 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一北京师大附中校考期末）已知 ，则不等式 的解集为（      ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题 7 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一清华附中校考期末）已知 ，给出下列四个结论： ① 若 ，则 或 2 ； ② 若 ，且 ，则 ； ③ 不存在正数 k ，使得 恰有 1 个零点； ④ 存在实数 ，使得 恰有 3 个零点． 其中，所有正确结论的序号是 ． 8 ．（ 2023 秋 · 北京平谷 · 高一统考期末）已知函数 ，若 ，则 x 的范围 是 ． 9 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一校考期末）已知函数 且 的图像恒过定点 ，又点 的坐标满足方程 ，则 的最大值为 . 三、双空题 10 ．（ 2023 秋 · 北京门头沟 · 高一校考期末）函数 恒过的定点坐标为 ，值域为 ． 11 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一北京师大附中校考期末）已知 ，当 时， 的单调减区间为 ；若 存在最小值，则实数 的取值范围是 . 四、解答题 12 ．（ 2023 秋 · 北京东城 · 高一统考期末）函数 的定义域为 ，若对任意的 ，均有 . (1) 若 ，证明： ； (2) 若对 ，证明： 在 上为增函数； (3) 若 ，直接写出一个满足已知条件的 的解析式 . 13 ．（ 2023 秋 · 北京丰台 · 高一统考期末）已知函数 ． (1) 判断 的奇偶性，并证明； (2) 在如图所示的平面直角坐标系 xOy 中，画出 的图象，并写出该函数的值域； (3) 写出不等式 的解集． 14 ．（ 2023 秋 · 北京顺义 · 高一统考期末）已知函数 其中， . (1) 求 与 的值； (2) 求 的最大值 . 15 ．（ 2023 秋 · 北京石景山 · 高一统考期末）已知函数 （ 为常数）是奇函数 . （ 1 ）求 的值与函数 的定义域 . （ 2 ）若当 时， 恒成立 . 求实数 的取值范围 . 参考答案： 1 ． A 【分析】根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可 . 【详解】由图象可知 ，所以 ， 因为 ，所以由 (1) 可得： ，由 (3) 可得： ，所以 ， 由 (2) 可得： ，所以 ， 因此有 ，所以函数 是减函数， ，所以选项 A 符合 . 故选： A. 2 ． C 【分析】利用指数对数函数图像数形结合即可得到 ， ， 的大小关系 . 【详解】在同一平面直角坐标系内作出 的图像 过点 ； 过点 ； 过点 ； 过点 ， 则 与 图像交点横坐标依次增大， 又 与 图像 交点横坐标分别为 ，则 . 故选： C 3 ． D 【分析】对于 A ，易知两个函数都过 ，结合特值和图象可得函数 和 的图像有两个公共点；对于 B ，由函数的增长速度可判断；对于 C ，当 时，作图可知 ，有 恒成立；对于 D ，当 时，易知两个函数都过点 ，即方程 有解； 【详解】对于 A ，指数函数 与一次函数 都过 ， 且 ， ， 故还会出现一个交点，如图所示，所以函数 和 的图像有两个公共点，故 A 错误； 对于 B ， ， 均单调递增， 由对数函数的性质可得对数函数的增长速度越来越慢，逐渐趋近 0 ，一次函数的增长速度固定，所以不存在 ，当 时，恒有 ，故 B 错误； 对于 C ，当 时，指数函数 与对数函数 互为反函数，两函数图像关于直线 对称，如图所示， 由图可知， ，有 恒成立，故 C 错误； 对于 D ，当 时， ， ，由 知， ，且两个函数都过点 ，即方程 有解，故 D 正确； 故选： D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点 ( 方程有根 ) 求参数值 ( 取值范围 ) 常用的方法： （ 1 ）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （ 2 ）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （ 3 ）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解 4 ． A 【分析】根据基本不等式可得到 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ，得到 g ( x ) ＝ 2 | x ＋ 1| ，该函数图象可看做 y ＝ 2 | x | 的图像向左平移 1 个单位得到，从而求得结果 . 【详解】因为 x ∈(0,4) ，所以 x ＋ 1 ＞ 1 ， 所以 f ( x ) ＝ x