2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.4.3　第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例（学案）

6.4.3 　 第四课时 　 余弦定理、正弦定理应用举例 在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形 . 例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量 . 问题 　 假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点 　 实际应用问题中的有关名词、术语 1 . 基线的概念与选取原则 （ 1 ）基线：根据测量的需要而 　确定的线段　 叫做基线； （ 2 ）选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度 . 一般来说，基线越长，测量的精确度越高 . 2 . 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于 90 ° 的水平角 . 如图，北偏东 30 ° ，南偏东 45 ° . 3 . 仰角和俯角 （ 1 ）前提：在视线所在的垂直平面内； （ 2 ）仰角：视线在水平线 　以上　 时，视线与水平线所成的角； （ 3 ）俯角：视线在水平线 　以下　 时，视线与水平线所成的角 . 李尧从学校向南前进了 200 米，再向东走了 200 米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？ 提示： 东南方向 . 1. 若 P 在 Q 的北偏东 44 ° 50 ' 方向上，则 Q 在 P 的（ 　　 ） A. 东偏北 45 ° 10 ' 方向上 B. 东偏北 44 ° 50 ' 方向上 C. 南偏西 44 ° 50 ' 方向上 D. 西偏南 44 ° 50 ' 方向上 解析： C 　 如图所示 . 2. 两灯塔 A ， B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km ，灯塔 A 在 C 北偏东 30 ° ， B 在 C 南偏东 60 ° ，则 A ， B 之间距离为（ 　　 ） A. a km 　 B. a km C. a km 　 D.2 a km 解析： A 　 在 △ ABC 中， AC ＝ BC ＝ a ， ∠ ACB ＝ 90 ° ，所以 AB ＝ a . 故选 A. 3. 如图，为测塔 AB 的高度，某人在与塔底 A 同一水平线上的 C 点测得 ∠ ACB ＝ 45 ° ，再沿 AC 方向前行 20 （ － 1 ）米到达 D 点，测得 ∠ ADB ＝ 30 ° ，则塔高为 　 　　　　 米 .   解析： 在 Rt△ ABC 中，设 AB ＝ x ，则由 ∠ ACB ＝ 45 ° 可知 AC ＝ x ，在 Rt△ ABD 中， AD ＝ x ＋ 20 （ － 1 ）， ∠ ADB ＝ 30 ° ，所以 ＝ tan 30 ° ， ＝ ，解得 x ＝ 20. 则塔高为 20 米 . 答案： 20 题型一 测量距离问题 【例 1 】 　 （ 1 ）如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A ， B ，望对岸的标记物 C ，测得 ∠ CAB ＝ 30 ° ， ∠ CBA ＝ 75 ° ， AB ＝ 120 m ，则河的宽度是 　 　　　　 m ；   （ 2 ）如图，为测量河对岸 A ， B 两点间的距离，沿河岸选取相距 40 m 的 C ， D 两点，测得 ∠ ACB ＝ 60 ° ， ∠ BCD ＝ 45 ° ， ∠ ADB ＝ 60 ° ， ∠ ADC ＝ 30 ° ，则 A ， B 两点的距离是 　 　　　　 m.   解析 　 （ 1 ） tan 30 ° ＝ ， tan 75 ° ＝ ，又 AD ＋ DB ＝ 120 ， ∴ AD· tan 30 ° ＝ （ 120 － AD ） · tan 75 ° ， ∴ AD ＝ 60 ，故 CD ＝ 60. 故河的宽度为 60 m. （ 2 ）在 △ BCD 中， ∠ BDC ＝ 60 ° ＋ 30 ° ＝ 90 ° ， ∠ BCD ＝ 45 ° ， ∴ ∠ CBD ＝ 90 ° － 45 ° ＝ ∠ BCD ， ∴ BD ＝ CD ＝ 40 ， BC ＝ ＝ 40 . 在 △ ACD 中， ∠ ADC ＝ 30 ° ， ∠ ACD ＝ 60 ° ＋ 45 ° ＝ 105 ° ， ∴ ∠ CAD ＝ 180 ° － （ 30 ° ＋ 105 ° ） ＝ 45 ° . 由正弦定理，得 AC ＝ ＝ 20 . 在 △ ABC 中，由余弦定理，得 AB 2 ＝ AC 2 ＋ BC 2 － 2 AC × BC × cos ∠ BCA ＝ （ 20 ） 2 ＋ （ 40 ） 2 － 2 × 20 × 40 cos 60 ° ＝ 2 400 ， ∴ AB ＝ 20 ，故 A ， B 两点之间的距离为 20 m. 答案 　 （ 1 ） 60 　 （ 2 ） 20 通性通法 测量距离的基本类型及方案 类型 A ， B 两点间不可达或不可视 A ， B 两点间可视，但有一点不可达 A ， B 两点都不可达 图形 类型 A ， B 两点间不可达或不可视 A ， B 两点间可视，但有一点不可达 A ， B 两点都不可达 计算 方法 先测角 C ， AC ＝ b ， BC ＝ a ，再用余弦定理求 AB 以点 A 不可达为例，先测角 B ， C ， BC ＝ a ，再用正弦定理求 AB 测得 CD ＝ a ， ∠ BCD ， ∠ BDC ， ∠ ACD ， ∠ ADC ， 在 △ ACD 中用正弦定理求 AC ； 在 △ BCD 中用正弦定理求 BC ； 在 △ ABC 中用余弦定理求 AB 一个骑行爱好者从 A 地出发向西骑行了 2 km 到达 B 地，然后再由 B 地向北偏西 60 ° 骑行 2 km 到达 C 地，再从 C 地向南偏西 30 ° 骑行了 5 km 到达 D 地，则 A 地到 D 地的直线距离是（ 　　 ） A.8 km 　　　　　　 B.3 km C.3 km D.5 km 解析： B 　 如图，在 △ ABC 中， ∠ ABC ＝ 150 ° ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 2 ，依题意， ∠ BCD ＝ 90 ° ，在 △ ABC 中，由余弦定理得， AC ＝ ＝ ＝ 2 ，由正弦定理得， sin ∠ ACB ＝ ＝ ，在 △ ACD 中， cos ∠ ACD ＝ cos （ 90 ° ＋ ∠ ACB ） ＝ － sin ∠ ACB ＝ － ，由余弦定理得， AD ＝ ＝ ＝ 3 ，所以 A 地到 D 地的直线距离是 3 km. 故选 B. 题型二 测量高