1.计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个的数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢？是什么计数法？[答案] 能，是分类计数法和分步计数法.
2.使用分类加法计数原理的关键是什么？有什么要求？[答案] 使用分类加法计数原理的关键是分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法.要求是分类要做到“不重复”“不遗漏”.3.使用分步乘法计数原理的关键是什么？有什么要求？[答案] 使用分步乘法计数原理的关键是明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事.要求是各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去做，才能完成这件事，各步之间不能重复也不能遗漏.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1） 在加法原理中，两类办法中的某两种方法可以相同.( )×（2） 在加法原理中，任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事.( )√（3） 在乘法原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( )√（4） 在乘法原理中，如果事情是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成.( )√
2.从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，则共有不同走法的种数是(@8@).A.B.C.D. A[解析]由分类加法计数原理知，有<m></m>（种）不同走法.
3.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的配法种数为_____.12[解析]要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上衣中任选1件，有4种不同选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选1条，有3种不同选法.故共有<m></m>（种）不同的配法. 4.多项式的展开式共有_____项. 10[解析]多项式的展开式共有<m></m>（项）.
探究1 分类加法计数原理问题1：.用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？[答案]因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出<m></m>种不同的号码.
问题2：.在<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>四个数字中任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和有多少种？ [答案]第一类：取两个数，则<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>（舍去），<m></m>，<m></m>，共5种.第二类：取三个数，则<m></m>（舍去），<m></m>（舍去），<m></m>，<m></m>，共2种.第三类：取四个数，则<m></m>，共1种.故取出这些数得到不同的和有<m></m>（种）.
问题3：.你能说说解决以上问题的步骤吗？解决以上问题的步骤如下：（1）求完成一件事的所有方法数，这些方法可以分成<m></m>类，且类与类之间两两不相交；（2）求每一类中的方法数；（3）把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数.
新知生成1.分类加法计数原理完成一件事，可以有<m></m>类办法，在第一类办法中有<m></m>种方法，在第二类办法中有<m></m>种方法，<m></m>，在第<m></m>类办法中有<m></m>种方法.那么，完成这件事共有<m></m>种方法.（也称“加法原理”）注意：完成这件事的若干种方法可以分成<m></m>类，且类与类之间两两不相交. 2.使用分类加法计数原理计数的两个条件（1）根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，在这个标准下进行分类.（2）完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，分别属于不同类的两种方法是不同的方法，满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.
新知运用例1 （1）某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本.已知笔的单价为4元，笔记本的单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至少要买2本，问不同的购买方案有多少种？（2）在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？[解析]（1）设购买笔<m></m>支，笔记本<m></m>本，则<m></m>得<m></m>将<m></m>的取值分为三类：①当<m></m>时，<m></m>，因为<m></m>为整数，所以<m></m>可取<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，共有4种方案.
②当<m></m>时，<m></m>，因为<m></m>为整数，所以<m></m>可取<m></m>，<m></m>，共有2种方案.③当<m></m>时，<m></m>，因为<m></m>为整数，所以<m></m>只能取2，只有1种方案.由分类加法计数原理得不同的购买方案有<m></m>.（2）设个位数字为<m></m>，十位数字为<m></m>，且<m></m>.当<m></m>时，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，有9个；当<m></m>时，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，有8个；当<m></m>时，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，有7个；<m></m>当<m></m>时，<m></m>，有1个.由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有<m></m>（个）.即个位数字小于十位数字的两位数共有45个.
【变式探究
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 计数原理课件
