第8
炼
函数方程问题
的分析
一、基础知识：
1
、函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：
都可称为函数方程。在高中阶段，
涉及到函数方程有以下几个类型：
（
1
）表示函数
的某种性质
：
例如
体现
是偶函数
；
体现
是周期为
1
的周期函数（可详见“函数
对称性与周期性”一节）
（
2
）可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：
，
可用
代替
得
，
即
（
3
）函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值
2
、双变量函数方程的赋值方法：
（
1
）对
均赋特殊值
，
以得到某些点的函数值
，
其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用
，
比如
，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数
定义域。
（
2
）其中某一个变量不变，另一个赋特殊值
，可得到单变量的恒等式，通常用于推断
函数的性质
3
、常见函数所符合的函数方程
：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程
（
1
）
：
（
2
）
：
（
3
）①
当
时
，
：
②当
时
，
：
二、典型例题
例
1
：已知函数
对任意的
均有
，且当
时，
（
1
）求证：
为奇函数
（
2
）求证：
为
上的增
函数
（1）思路：要证明奇函数，则需要
出现在同一等式中，所以考虑令
，则有
，再通过代入特殊值计算出
即可
解：（
1
）令
，则
令
，则
解得
为奇函数
（2）思路：要证明单调递增，则需任取
，且
，去证明
与
的大小，结合等式，则需要让
与
分居等号的两侧，才能进行作差。所以考虑
，进而
。只需判断
的符号即可
解：任取
，且
，令
，代入方程可得：
，依题意可得：
即
为增函数
小炼有话说
：第（2）问将
拆分为
是本题证明的亮点，达到了让
与
分居等号的两侧的目的
例
2
：已知定义在
上的函数
，对于任意实数
都满足
，且
，当
时，
（
1
）求
的值
（
2
）求证：
在
上
是
增函数
（
3
）求不等式：
的解集
解：
（
1
）令
，则有
，解得
或
令
可得：
（2）思路：考虑证明
单调递增，则需构造出
，即
可设
且令
，则有
，从而
，由
和已知条件可得：
所以需要证明
，即
，
，可考虑结合题目条件和
，令
，则有
，从而单调性可证
证明：
，则令
，代入函数方程有：
，下证
由已知可得，
时
，所以只需证明
时，
令
，即
在
上单调递增
（3）
思路：本题并没有
的解析式，所以考虑利用函数的单调性求解。由（1）（2）问可得
，从而
，再根据单调性即可得到关于
的不等式，解出不等式即可
解：
，且
由（
2
）可得
单调递增
解得
例3：定义在
的函数满足关系
，当
时，
，若
，则
的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
思路：由比较函数值大小联想到考虑函数的单调性，先化简
，由
可得：
，令
解得：
，即
，所给方程左边已经作差，所以考虑
，
，则
，因为
，所以
，从而
，即
，得到
在
单调递增，
所以
答案：D
小炼有话说
：本题在证明单调性时，因为考虑了
中自变量的取值，所以只需考虑
的单调性，缩小
的范围使得判断
的范围较容易。
但也可将
在
中任取，但是在判断
的范围会比较复杂，可利用不等式的等价变形来证：
假设
，因为
且
由
可得
成立，从而
例4：函数
的定义域为
，满足
，
在区间
上单调递增，若
满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
思路：从所求中发现
互为相反数，所以联想到判定
是否具有奇偶性。令
，则有
，需求出
：令
，则
，再令
，则
，所以
，
为偶函数。所以
，所解不等式为
，因为
为偶函数，且区间
上单调递增，所以自变量距离
轴越近，则函数值越小，所以
，即
，解得
，因为
，所以
的范围为
答案：D
例
5
：
设角
的终边在第一象限，函数
的定义域为
，且
，当
时，有
，则使等式
成立的
的集合为
思路：首先从所求出发，由
确定代入的特殊值。令
得：
，则下一步需要确定
的值，令
，则有
，所以
，由角
的终边在第一象限可得：
，从而
的集合为
答案：
例
6
：定义在
上的函数
满足：对于任意的
，有
，且
时，有
，设
的最大值和最小值分别为
，则
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
思路：由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明
单调，令
（其中
），则可证明
为增函数，从而
，再利用函数方程求出
的值即可
解：
，且
，令
代入函数方程可得：
，
在
单调递增
令
，可得：
答案：D
例
7
：已知函数
满足：
，对任意实数
都有
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
思路：由所求出发可考虑判断
是否具备周期性，令
，可得
，即
，所以
，两式相加可得
，则可判定
的周期为6，由
可得：
，即
，由
可得
，则
，从而
，所以
，且
答案：
B
例
8
：已知
是定义在
上的函数，
，且对任意的
，都有
，那么
__________
思路：函数
第08讲 函数方程问题的分析(讲义)-高考数学热点复习
