2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课教案2-2基本不等式

2 ． 2 基本不等式（单元教学设计）一、【单元目标】【知识与能力目标】 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号 “ ≥ ” 取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2、掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【过程与方法目标】通过实例探究抽象基本不等式；【情感态度价值观目标】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．二、【单元知识结构框架】三、【学情分析】 “ 基本不等式 ” 是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．四、【教学设计思路/过程】课时安排：约2课时教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；教学难点： 1、基本不等式等号成立条件；2、利用基本不等式求最大值、最小值．教学方法/过程：五、【教学问题诊断分析】环节一、情景引入，温故知新情景：我们知道，通过研究特殊的多项式乘法，可以得到乘法公式，而乘法公式在代数式的运算中有重要作用．那么，在研究不等式的性质后，是否也有一些特殊的不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的作用呢?今天我们就来研究这个问题．问题 1 ：在不等式的学习中，我们从赵爽弦图中抽象出了重要不等式．特别地，我们限制，，并用分别代替，可得，你能证明这一不等式吗? 【破解方法】学生能从探索过程获知，基本不等式是重要不等式的特殊情况，建立新旧知识的联系，为不等式的学习提供可参考的对象．环节二、抽象概念，内涵辨析 1 ．基本不等式问题 2 ：你能直接利用不等式的性质证明这一式子吗? 【破解方法】学生先独立思考，由于不等式的性质比较多，到底由哪个性质出发，利用哪些性质进行证明，学生会一头雾水．教师再让学生自学教科书第44页，然后通过问题引导学生思考．从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：要证（ 1 ）只要证（2）要证（2），只要证 ≥ 0 （3）要证（3），只要证（ - ） 2 ≥ 0 （4）显然，（4）是成立的．当且仅当 a = b 时，（4）中的等号成立．【归纳新知】对公式的理解．（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号 “ = ” 的条件在形式上是相同的，都是 “ 当且仅当时取等号 ” ． 2 ．基本不等式的几何意义问题 3 ：的几何意义是什么？【破解方法】如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点 D ，连接、．易证，那么，即．这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 3 ．用基本不等式求最大（小）值问题 4 ：怎样利用基本不等式求最大（小）值？【破解方法】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．环节三：例题练习，巩固理解题型一：对基本不等式的理解及简单应用【例1】下列不等式中等号可以取到的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】 C 【解析】对于 A ，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故 A 不符合；对于 B ，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故 B 不符合；对于 C ，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故 C 符合；对于 D ，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故 D 不符合．故选： C ．【对点训练1】《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（） A ． B ． C ． D ．【答案】 D 【解析】设，可得圆的半径为，又由，在中，可得，因为，所以，当且仅当时取等号．故选： D ．题型二：利用基本不等式比较大小【例2】若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）．则不正确的不等式的个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】 C 【解析】因为，所以，成立，所

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