第一章 数 列
§3 等比数列3.1 等比数列的概念及其通项公式第1课时 等比数列
必备知识•探新知关键能力•攻重难课堂检测•固双基素养目标•定方向
1．掌握等比数列的概念、判定方法和通项公式．2．理解等比数列通项公式的推导过程．3．掌握等比数列通项公式的简单应用．1．通过对等比数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助等比数列通项公式的简单应用，提升数学运算素养.
等比数列 知识点 1(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于_____________，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．[提醒] “从第2项起”是因为首项没有“前一项”．“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一项与其前一项之比，防止前后次序颠倒．同一个常数
想一想：1．为什么等比数列的每一项均不为零？提示：若存在一项为零，设这一项为ak，则(1)若ak不是最后一项，它将不能与ak＋1作比；(2)若ak是最后一项，可推知公比q等于零，从而a2＝0，它将不能与a3作比．故等比数列的每一项均不能为零．2．常数列一定是等比数列吗？提示：不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数列；当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列．
练一练：1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)等比数列的任意一项均不为零．( )(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )(4)∀n∈N*，an＋1＝qan，其中q是常数且不为零，则{an}是等比数列．( )√×××
2．下面四个数列中，一定是等比数列的是( )A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4D
等比数列的通项公式 知识点 2首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为_____________.[提醒] (1)已知首项a1和公比q的前提下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项．(2)在通项公式中，有an，a1，q，n四个量，如果已知任意三个，那么可求出第四个量．an＝a1qn－1
想一想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1与指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么联系？
C
－2
题|型|探|究 在等比数列{an}中，(1)a1＝3，a3＝27，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[分析] (1)已知等比数列的通项公式an＝a1qn－1代入a1，a3，求出q，最后求出an.(2)已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出a1，q，由an＝1求n.题型一等比数列通项公式及应用典例 1
[解析] (1)设公比为q，则a3＝a1·q2，所以27＝3q2，所以q＝±3，an＝3n或an＝－(－3)n.(2)设公比为q，由题意，得
[规律方法] 与等比数列通项有关的基本量计算(1)常规方法：根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q，再求an；(2)整体法：利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这里体现了整体思想的应用．
在等比数列{an}中：(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.对点训练❶[解析] (1)设等比数列{an}的公比为q，∴a3＋a6＝a3＋a3q3＝a3(1＋q3)＝36，∴a3＝32.
角度1 等比数列的判定A．1 B．2 C．64 D．128题型二等比数列的判定与证明典例 2C
(2)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4”是“{an}是公比为2的等比数列”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B
(2)an＝2an－1，n＝2,3,4，有可能数列每一项都是零，此时数列不是等比数列，反过来{an}是公比为2的等比数列，则一定满足an＝2an－1.故为必要不充分条件．
[规律方法] 判断一个数列{an}是等比数列的方法(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(1)数列{an}满足a4＝1，an＋1－2an＝0(n∈N*)，则a1等于( )对点训练❷B
A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件B
角度2 等比数列的证明(1)证明：数列{an－2}为等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．典例 3
对点训练❸
易|错|警|示忽视等比中项的符号致错 等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．典例 4[错解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵a2－a5＝42，
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，∵a5，a7的等比中项为a6，∴a5，a7的等比中项为3.
[误区警示] 错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．[正解] 设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵a2－a5＝42，∴q≠1，∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册 3.1等比数列的概念及其通项公式第1课时等比数列 课件
