例1 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2)．(1)若点C的坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程；(2)若M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程． 解析：(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝＝，由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3，∴AB边上的高所在的直线方程为y－0＝－3(x－1)，化为一般式可得3x＋y－3＝0.(2)∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，∴C(2，1)，∴kBC＝＝1，∴边BC所在的直线方程为y－1＝x－2，化为一般式可得x－y－1＝0.
跟踪训练1 已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求：(1)顶点C的坐标；(2)直线BC的方程．
解析：(1)由题意知AC边上的高所在直线的斜率为，故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.由求得故点C的坐标为.
(2)设B(m，n)，则M.把点M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0，可得求得，故点B.再用两点式求得直线BC的方程为＝，化简为46x－41y－43＝0.
二、两条直线的位置关系解决此类问题的关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性．
例2 (1)当a＝________时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．解析：直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝a2－2.因为l1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.所以当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．答案：－1
(2)当a＝________时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．答案： 解析：直线l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝.所以当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
跟踪训练2 (1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值等于________．解析：∵直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，∴2a－3(a＋1)＝0，∴a＝－3.答案：－3
(2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1，1)，点A(－2，3)，B(0，y)，则y＝________．答案：－ 解析：kAC＝＝－，kBC＝＝1－y.∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴－(1－y)＝－1，∴y＝－.
三、距离问题解决解析几何中的距离问
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 第一章 直线与圆习题课 （课件）
