2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质 学案

3.2.2　双曲线的简单几何性质 1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点) 3．理解直线与双曲线的位置关系及判定方法．(难点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算素养． 2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养． 已知双曲线 C 的方程为 x 2 － ＝1，根据这个方程完成下列任务： (1)观察方程中 x 与 y 是否有取值范围，由此指出双曲线 C 在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出双曲线 C 是否关于 x 轴、 y 轴、原点对称； (3)指出双曲线 C 与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标； (4)如果( x ， y )满足双曲线 C 的方程，说出当| x |增大时，| y |将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点． 知识点1　双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质 标准方程 － ＝1( a >0， b >0) － ＝1( a >0， b >0) 图形 性质 范围 x ≥ a 或 x ≤－ a y ≤－ a 或 y ≥ a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A 1 (－ a, 0)， A 2 ( a, 0) 顶点坐标： A 1 (0，－ a ) ， A 2 (0， a ) 轴长 实轴长：2 a 　　　虚轴长： 2 b 渐近线 y ＝± x y ＝ ± x 离心率 e ＝ ， e ∈(1，＋∞)，其中 c ＝ a ， b ， c 的关系 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ( c > a >0， c > b >0) (2)双曲线的中心和等轴双曲线 ①双曲线的中心 双曲线的 对称中心 叫做双曲线的中心． ②等轴双曲线 实轴 和 虚轴 等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 y ＝± x ，离心率为 ． 1．双曲线的离心率对双曲线的形状有何影响？ [提示]　以双曲线 － ＝1( a >0， b >0)为例． e ＝ ＝ ＝ ，故当 的值越大，渐近线 y ＝ x 的斜率越大，双曲线的开口越大， e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线 － ＝1与 － ＝1( a >0， b >0)的形状相同． (　　) (2)双曲线 － ＝1与 － ＝1( a >0， b >0)的渐近线相同． (　　) (3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关． (　　) (4)离心率是 的双曲线为等轴双曲线． (　　) [提示]　(1)√　双曲线 － ＝1与 － ＝1( a >0， b >0)的位置不一样，但是形状相同． (2)×　双曲线 － ＝1的渐近线方程为 y ＝± x ；双曲线 － ＝1的渐近线方程为 y ＝± x ． (3)×　等轴双曲线的渐近线方程都是 y ＝± x ． (4)√　等轴双曲线的离心率是 ． 2．双曲线 － ＝1( a ＞0， b ＞0)经过点( ，2)，且离心率为3，则它的虚轴长为________． 4 　[由题意可得 解得 因此，该双曲线的虚轴长2 b ＝4 ．] 知识点2　直线与双曲线的位置关系 将 y ＝ kx ＋ m 与 － ＝1联立消去 y 得一元方程( b 2 － a 2 k 2 ) x 2 －2 a 2 kmx － a 2 ( m 2 ＋ b 2 )＝0． Δ 的取值 位置关系 交点个数 k ＝± 时(此时 m ≠0) 相交 只有 一个 交点 k ≠± 且 Δ ＞0 有 两个 交点 k ≠± 且 Δ ＝0 相切 只有 一个 交点 k ≠± 且 Δ ＜0 相离 没有 公共点 2．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？ [提示]　不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交． 3．直线 l 过点( ，0)且与双曲线 x 2 － y 2 ＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 C　[根据双曲线方程可知，点( ，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．故过点( ，0)且与双曲线仅有一个公共点的直线有3条．] 类型1　根据双曲线方程研究其几何性质 【例1】　(对接教材P 124 例题)(1)已知双曲线 C ： － ＝1( a >0， b >0)的离心率为 ，则双曲线 C 的渐近线方程为(　　) A． y ＝± x B． y ＝± x C． y ＝± x D． y ＝± x (2)求双曲线9 y 2 －4 x 2 ＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． (1) C 　　[由 e 2 ＝1＋ 得 ＝1＋ ， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 又双曲线的焦点在 x 轴上，则双曲线渐近线方程为 y ＝± x ，故选C．] (2)[解]　双曲线的方程化为标准形式是 － ＝1， ∴ a 2 ＝9， b 2 ＝4，∴ a ＝3， b ＝2， c ＝ ． 又双曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－ ，0)，( ，0)， 实轴长2 a ＝6，虚轴长2 b ＝4， 离心率 e ＝ ＝ ， 渐近线方程为 y ＝± x ． 由双曲线方程研究几何性质的注意点 (1)把双曲线方程化为标准形式，确定 a ， b 的值是关键． (2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程． (3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长． (4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用． 如过双曲线 － ＝1的左焦点 F 1 (－ c, 0)垂直于 x 轴的弦 AB ，则| AB |＝ ． (5)双曲线中 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 ，易与椭圆中 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 混淆． 1．(1)若