一轮复习大题专练
23
—解三角形（取值范围、最值问题
2
）
1
．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，
．
（
1
）求
；
（
2
）若
的面积为
，求
的最小值．
解：（
1
）因为
，
所以
，由正弦定理可得
，即
，
可得
，
又
，
所以
，即
，可得
，
又
，
所以
，
可得
．
（
2
）由题意可得
，即
，
由余弦定理可得
，可得
，
所以
，
解得
，
，（舍去），当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为
4
．
2
．已知
的三个内角
，
，
对应的边分别为
，
，
，
．
（
1
）求角
的大小；
（
2
）如图，设
为
内一点，
，
，且
，求
的最大值．
解（
1
）
．
．
．
整理得
．
易知
，
，
又
为三角形内角，
．
（
2
）由（
1
）与
，得
，
在
中，由余弦定理，
，
又在
中，
，
，当且仅当
时取等“
”所以
的最大值为
．
3
．
的三个内角
，
，
的对边分别是
，
，
，已知
．
（
1
）求
；
（
2
）若
，求
的取值范围．
解：（
1
）因为
，
由正弦定理
，
因为
，
所以
，
所以
，
即
，
由
为三角形内角得
，
故
，
所以
；
（
2
）由（
1
）
，
，
由正弦定理得
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
所以
的取值范围
．
4
．在
中，已知角
，
，
所对边分别为
，
，
，
．
（
1
）求角
；
（
2
）若
，求
的取值范围．
解：（
1
）因为
，
所以
；
即
，
所以
，
故
或
，
解得
或
（舍
又因为在
中，
，
所以
．
（
2
）（法一）由余弦定理知
，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立．
又因为
，
，
是
的三条边，
所以
，
所以
．
（
2
）（法二）因为
，
，
由正弦定理，
，
所以
．
所以
，
，
因为
，
，
是
的三个内角，且
．
所以
，
所以
，
所以
，
所以
．
5
．在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
．
（
1
）求角
的大小和边长
的值；
（
2
）求
面积的取值范围．
解：（
1
）
，
，
，
，
，
为锐角，
，
，
由正余弦定理可得
，
整理可得
，
解得
．
（
2
）
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
6
．在
①
，
②
，
③
，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．
已知锐角
中，
、
、
分别为内角
、
、
的对边，
，
_____
．
（
1
）求角
；
（
2
）求
的取值范围．
解：若选
①
，
（
1
）由
及正弦定理得，
，即
，
，
又
为锐角，
；
（
2
）
为锐角三角形，
，解得
，
由正弦定理得：
，
．
，
，则
．
，
；
若选
②
，
（
1
）由
及正弦定理得，
，
即
，
，
，
，可得
，
又
，
；
（
2
）
为锐角三角形，
，解得
，
由正弦定理得：
，
．
，
，则
．
，
；
若选
③
，
（
1
）由
及正弦定理得
，
即
，
由余弦定理得：
，
，
；
（
2
）
为锐角三角形，
，解得
，
由正弦定理得：
，
．
，
，则
．
，
．
解答题专练23—解三角形（取值范围、最值问题2）-高考数学一轮复习
